ALES ALES Sayısal Yaş, Hız ve Hareket Problemleri Testi #6

1. Adım: İki çocuğun yaşları farkı zamanla değişmez. Bu yaş farkına $d$ diyelim. 2. Adım: Babanın bugünkü yaşı $B = 6d$ olur. 3. Adım: 5 yıl sonra babanın yaşı $6d + 5$ olacaktır. Soruda verilen eşitliği kuralım: $6d + 5 = 7d - 2$ $7d - 6d = 5 + 2 \implies d = 7$ 4. Adım: Babanın bugünkü yaşı: $B = 6d = 6 \times 7 = 42$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: İki çocuğun bugünkü yaşları toplamı $x$ olsun. Annenin bugünkü yaşı $A = 3x$ olur. 2. Adım: 6 yıl sonra annenin yaşı $3x + 6$ olur. 3. Adım: 6 yıl sonra iki çocuğun yaşları toplamı $x + (2 \times 6) = x + 12$ olur. 4. Adım: 6 yıl sonraki bağıntıyı kuralım: $3x + 6 = 2(x + 12) - 2$ $3x + 6 = 2x + 24 - 2$ $3x + 6 = 2x + 22 \implies x = 16$ 5. Adım: İki çocuğun yaşları toplamı 16'dır. Çocukların yaşları birbirinden farklı tam sayılar olduğuna göre, büyük çocuğun yaşının en az olması için yaşlar birbirine en yakın seçilmelidir. $8 + 8 = 16$ olamayacağından, yaşlar 9 ve 7 olur. Büyük çocuk en az 9 yaşındadır. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Can'ın bugünkü yaşı $C$, Derya'nın bugünkü yaşı $D$ olsun ($C > D$). $C + D = 44$ 2. Adım: Can, Derya'nın yaşındayken geçen süre $C - D$ yıl öncedir. 3. Adım: $C - D$ yıl önce Derya'nın yaşı: $D - (C - D) = 2D - C$ olur. Bu yaş 10 olarak verilmiştir: $2D - C = 10 \implies C = 2D - 10$ 4. Adım: $C$ ifadesini toplam denkleminde yerine yazalım: $(2D - 10) + D = 44$ $3D - 10 = 44 \implies 3D = 54 \implies D = 18$ 5. Adım: Can'ın bugünkü yaşını bulalım: $C = 44 - 18 = 26$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: 4 kişinin bugünkü yaşları toplamı: $4 \times 22 = 88$. 2. Adım: 2 yıl sonra bu 4 kişinin her biri 2 yaş büyüyeceğinden yaşları toplamı: $88 + (4 \times 2) = 88 + 8 = 96$ olur. 3. Adım: 2 yıl sonra gruba katılan iki kişinin o anki yaşları $y$ olsun. Grupta toplam $4 + 2 = 6$ kişi olur. 6 kişinin 2 yıl sonraki yaş ortalaması 25 olduğuna göre yaşları toplamı: $6 \times 25 = 150$ olur. 4. Adım: Yeni katılanların 2 yıl sonraki yaşları toplamı: $150 - 96 = 54$ Katılan iki kişinin yaşları eşit olduğundan birinin 2 yıl sonraki yaşı: $\frac{54}{2} = 27$ olur. 5. Adım: Bu kişinin bugünkü yaşı: $27 - 2 = 25$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Bugünkü yaşları $k$ orantı sabitiyle ifade edelim: Ali'nin yaşı = $2k$, Babanın yaşı = $7k$ 2. Adım: 8 yıl sonra Ali $2k + 8$, baba $7k + 8$ yaşında olur. 3. Adım: Verilen yeni oranı kuralım: $\frac{2k + 8}{7k + 8} = \frac{2}{5}$ $5(2k + 8) = 2(7k + 8)$ $10k + 40 = 14k + 16$ $14k - 10k = 40 - 16 \implies 4k = 24 \implies k = 6$ 4. Adım: Bugünkü yaşları bulalım: Ali = $2 \times 6 = 12$ Baba = $7 \times 6 = 42$ 5. Adım: Ali doğduğunda babasının yaşı iki kişinin yaş farkına eşittir: $42 - 12 = 30$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: Kardeşlerin bugünkü yaşları en küçük $3k$, ortanca $5k$, en büyük $7k$ olsun. 2. Adım: En büyük kardeşin, en küçük kardeşin bugünkü yaşı olan $3k$'ya geldiği zaman geçmişteki bir andır: Geçen süre = $3k - 7k = -4k$ yıldır (yani $4k$ yıl önce). 3. Adım: $4k$ yıl önce en küçük kardeşin yaşı: $3k - 4k = -k$ olur. 4. Adım: Küçük kardeşin doğmasına 8 yıl olması demek, yaşının $-8$ olması demektir: $-k = -8 \implies k = 8$ 5. Adım: Ortanca kardeşin bugünkü yaşı: $5k = 5 \times 8 = 40$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Adım: Ablasının yaşı $A$, Murat'ın yaşı $M$ olsun ($A > M$). Bugünkü yaşları toplamı: $A + M = 66$ 2. Adım: Ablası Murat'ın bugünkü yaşındayken yani $A - M$ yıl önce, Murat'ın yaşı: $M - (A - M) = 2M - A$ olur. Bu yaş 12 olarak verilmiştir: $2M - A = 12$ 3. Adım: İki denklemi taraf tarafa toplayalım: $(A + M) + (2M - A) = 66 + 12$ $3M = 78 \implies M = 26$ 4. Adım: Ablasının bugünkü yaşını bulalım: $A = 66 - 26 = 40$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Araçların karşılaşma süresini ($t$) bulalım: $t = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Hızlar Toplamı}} = \frac{420}{60 + 80} = \frac{420}{140} = 3$ saat. 2. Adım: 3 saatte yavaş olan (60 km/sa) araç A şehrinden $3 \times 60 = 180$ km uzaklaşmıştır. Dolayısıyla karşılaşma noktası ile A şehri arasındaki mesafe 180 km'dir. 3. Adım: Hızlı olan araç (80 km/sa) B'den A'ya doğru gittiğinden, karşılaştıktan sonra A şehrine varmak için bu 180 km yolu gidecektir. 4. Adım: Hızlı aracın bu yolu alma süresi: Süre = $\frac{180}{80} = \frac{18}{8} = 2{,}25$ saat (2 saat 15 dakika) bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Ortalama hız formülü $V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}}$'dır. 2. Adım: Yolun tamamına işlem kolaylığı için $3x$ diyelim. - İlk kısım: $x$ km, Hız = 40 km/sa $\implies t_{1} = \frac{x}{40}$ saat. - Kalan kısım: $2x$ km, Hız = 80 km/sa $\implies t_{2} = \frac{2x}{80} = \frac{x}{40}$ saat. 3. Adım: Toplam zamanı bulalım: $t_{\text{toplam}} = t_{1} + t_{2} = \frac{x}{40} + \frac{x}{40} = \frac{2x}{40} = \frac{x}{20}$ saat. 4. Adım: Ortalama hızı hesaplayalım: $V_{\text{ort}} = \frac{3x}{\frac{x}{20}} = 3x \times \frac{20}{x} = 60$ km/sa bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Aynı yönde giden araçlarda arkadaki aracın aradaki mesafeyi kapatma hızı iki aracın hızları farkına eşittir: Hız farkı = $95 - 65 = 30$ km/sa. 2. Adım: Kapatılması gereken başlangıç mesafesi 240 km'dir. 3. Adım: Yetişme süresi: $t = \frac{\text{Aralarındaki Mesafe}}{\text{Hız Farkı}} = \frac{240}{30} = 8$ saat bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: Teknenin akıntı yönündeki hızı: $V_{\text{gidiş}} = V_{\text{tekne}} + V_{\text{akıntı}} = 20 + 4 = 24$ km/sa. 2. Adım: Teknenin akıntıya karşı dönüş hızı: $V_{\text{dönüş}} = V_{\text{tekne}} - V_{\text{akıntı}} = 20 - 4 = 16$ km/sa. 3. Adım: Gidilen tek yönlü mesafeye $x$ km diyelim. Toplam süre 5 saat olduğuna göre: $\frac{x}{24} + \frac{x}{16} = 5$ 4. Adım: Paydaları 48'de eşitleyelim: $\frac{2x + 3x}{48} = 5 \implies \frac{5x}{48} = 5 \implies x = 48$ km bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: Trenin boyuna $L$ metre, hızına $v$ m/s diyelim. 2. Adım: Direği geçmesi için yalnızca kendi boyu kadar yol alması gerekir: $L = v \times 10 \implies v = \frac{L}{10}$ 3. Adım: 600 metrelik tüneli geçmesi için kendi boyu ile tünelin toplamı kadar yol alması gerekir: $L + 600 = v \times 40$ 4. Adım: $v$ yerine $\frac{L}{10}$ yazalım: $L + 600 = \frac{L}{10} \times 40 = 4L$ $4L - L = 600 \implies 3L = 600 \implies L = 200$ metre bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Aynı yönde hareket eden iki hareketliden birinin diğerine tur bindirmesi için aralarındaki mesafe farkının tam bir pist çevresi (480 m) kadar açılması gerekir. 2. Adım: Koşucuların hızları farkı: $70 - 50 = 20$ m/dk. 3. Adım: Tur bindirme süresi ($t$): $t = \frac{\text{Pist Çevresi}}{\text{Hız Farkı}} = \frac{480}{20} = 24$ dakika bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Planlanan süreye $T$ saat diyelim. 40 dakika $= \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ saat, 20 dakika $= \frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ saattir. 2. Adım: Alınan yol sabit olduğundan yol denklemini iki durum için eşitleyelim: $\text{Yol} = 75 \times \left(T + \frac{2}{3}\right)$ $\text{Yol} = 100 \times \left(T - \frac{1}{3}\right)$ 3. Adım: Eşitliği çözelim: $75T + 50 = 100T - \frac{100}{3}$ $100T - 75T = 50 + \frac{100}{3}$ $25T = \frac{250}{3} \implies T = \frac{10}{3}$ saat. 4. Adım: Yolun uzunluğunu hesaplayalım: $\text{Yol} = 75 \times \left(\frac{10}{3} + \frac{2}{3}\right) = 75 \times \frac{12}{3} = 75 \times 4 = 300$ km bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: İki yürüyüşçünün karşılaşma anına kadar geçen süreye $t$ saat diyelim. 2. Adım: Aldıkları yollar: - Yavaş olanın yolu = $4t$ km - Hızlı olanın yolu = $6t$ km 3. Adım: Yollar arasındaki fark 6 km olduğuna göre: $6t - 4t = 6 \implies 2t = 6 \implies t = 3$ saat. 4. Adım: A ile B arasındaki toplam mesafeyi bulalım: Toplam Yol = $4t + 6t = 10t = 10 \times 3 = 30$ km bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: İki çocuğun bugünkü yaşları toplamı $x$ olsun. Babanın bugünkü yaşı $4x$'tir. 2. Adım: İki çocuğun yaşları toplamının babanın bugünkü yaşı olan $4x$'e gelmesi için toplamın $4x - x = 3x$ artması gerekir. 3. Adım: İki çocuk olduğundan geçen süre $\frac{3x}{2}$ yıldır. 4. Adım: $\frac{3x}{2}$ yıl sonra babanın yaşı: $4x + \frac{3x}{2} = \frac{11x}{2}$ olur. 5. Adım: Eşitliği kuralım: $\frac{11x}{2} = 77 \implies 11x = 154 \implies x = 14$ 6. Adım: Babanın bugünkü yaşı: $4x = 4 \times 14 = 56$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: Otomobil 1 saatte $1 \times 60 = 60$ km yol alır. Motosiklet hareket ettiği anda aralarındaki mesafe 60 km'dir. 2. Adım: Motosikletin otomobile yetişme süresi: $t = \frac{\text{Aralarındaki Mesafe}}{\text{Hız Farkı}} = \frac{60}{80 - 60} = \frac{60}{20} = 3$ saat. 3. Adım: Motosiklet 3 saat boyunca yol aldığında aldığı toplam mesafe: $3 \times 80 = 240$ km. 4. Adım: Yetişme noktasının B kentine olan uzaklığı: $360 - 240 = 120$ km bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: 2020 yılında torunun yaşı $x$, dedenin yaşı $6x$ olsun. 2. Adım: 2026 yılı 6 yıl sonrasıdır. Torunun yaşı $x + 6$, dedenin yaşı $6x + 6$ olur. 3. Adım: 2026 yılındaki eşitliği kuralım: $6x + 6 = 4(x + 6) + 2$ $6x + 6 = 4x + 24 + 2$ $6x + 6 = 4x + 26 \implies 2x = 20 \implies x = 10$ 4. Adım: Torun 2020 yılında 10 yaşında olduğuna göre doğum yılı: $2020 - 10 = 2010$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Parkurun yarısına $x$ metre diyelim. Toplam parkur $2x$ metredir. 2. Adım: İlk yarıyı koşma süresi: $t_{1} = \frac{x}{120}$ dakika. İkinci yarıyı koşma süresi: $t_{2} = \frac{x}{180}$ dakika. 3. Adım: Toplam süre denklemini kuralım: $\frac{x}{120} + \frac{x}{180} = 25$ 4. Adım: Paydaları 360'ta eşitleyelim: $\frac{3x + 2x}{360} = 25 \implies \frac{5x}{360} = 25 \implies \frac{x}{72} = 25$ $x = 72 \times 25 = 1800$ metre. 5. Adım: Parkurun tamamı $2x$ olduğuna göre: Toplam Uzunluk = $2 \times 1800 = 3600$ metre bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: Yavaş olan aracın hızına $v$ km/sa diyelim. Hızlı olan aracın hızı $1{,}5v$ km/sa olur. 2. Adım: Karşılıklı hareket eden araçların 4 saatte aldıkları yolların toplamı aralarındaki mesafeye eşittir: $4 \times (v + 1{,}5v) = 500$ 3. Adım: Denklemi çözelim: $4 \times 2{,}5v = 500$ $10v = 500 \implies v = 50$ km/sa bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.