DGS DGS (Dikey Geçiş Sınavı) Hız ve İşçi Problemleri Testi #1

İşçi problemlerinde günlük çalışma hızları üzerinden denklem kurulur. Ali'nin 1 günlük hızı $\frac{1}{12}$, Veli'nin 1 günlük hızı $\frac{1}{24}$'tür. İkisi birlikte 4 gün çalışmıştır: $4 \cdot (\frac{1}{12} + \frac{1}{24})$ Parantez içindeki işlemi payda eşitleyerek (2 ve 1 ile) yapalım: $4 \cdot (\frac{2}{24} + \frac{1}{24}) = 4 \cdot \frac{3}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ İşin $\frac{1}{2}$'si (yarısı) bitmiştir. Geriye kalan iş $\frac{1}{2}$'dir. Bu kalanı Veli tek başına $t$ günde yapsın: $t \cdot \frac{1}{24} = \frac{1}{2} \implies t = 12$ gün. Veli başlangıçta Ali ile birlikte 4 gün, yalnız başına ise 12 gün çalışmıştır. Toplam çalışma süresi: $4 + 12 = 16$ gün. Sonuç: C şıkkı.

Zıt yönlü hareket eden araçların birbirlerine doğru gelirken hızları toplanır. Karşılaşma süresi ($t$), aralarındaki mesafe ($x$) ve hızların toplamı ($V_1 + V_2$) arasındaki bağıntı: $x = (V_1 + V_2) \cdot t$ şeklindedir. Verilen değerleri yerine koyalım: $V_1 = 60$ km/sa $V_2 = 90$ km/sa $t = 4$ saat $x = (60 + 90) \cdot 4 = 150 \cdot 4 = 600$ km. A ve B şehirleri arası 600 km'dir. Sonuç: D şıkkı.

İş yapma kapasitesi ile işi bitirme süresi ters orantılıdır. Fatma'nın kapasitesine $V$ dersek, Ayşe'nin kapasitesi $3V$ olur. İkisinin birlikte kapasitesi: $V + 3V = 4V$ olur. Toplam iş miktarı = Kapasite $\cdot$ Süre Toplam İş = $4V \cdot 6 = 24V$ birimdir. Ayşe tek başına bu işi kendi kapasitesi olan $3V$ hızıyla $t$ günde bitirsin: $3V \cdot t = 24V \implies t = 8$ gün. Sonuç: A şıkkı.

Aynı yönde hareket eden araçların birbirini yakalama formülünde hızların farkı alınır. Yakalanma süresi ($t$), aralarındaki başlangıç mesafesi ($x$) ve hız farkı ($V_1 - V_2$) formülü: $x = (V_1 - V_2) \cdot t$ Değerleri yerine yazalım: $V_1 = 80$ km/sa (Arkadan gelen hızlı araç) $V_2 = 60$ km/sa (Öndeki yavaş araç) $t = 5$ saat $x = (80 - 60) \cdot 5 = 20 \cdot 5 = 100$ km. Sonuç: B şıkkı.

İşi 'işçi-gün' cinsinden birimlere ayıralım. Toplam iş: 4 işçi $\cdot$ 15 gün = 60 birim iş. 4 işçi 3 gün çalışınca yapılan iş: $4 \cdot 3 = 12$ birim iş. Geriye kalan iş: $60 - 12 = 48$ birim iş. İşten 2 işçi ayrıldığı için geriye 2 işçi kalmıştır. Kalan işçilerin bitirme süresi $t$ olsun: $2 \cdot t = 48 \implies t = 24$ gün. Sonuç: C şıkkı.

Bir hareketli aynı yolu farklı iki hızla gidip dönüyorsa ortalama hız formülü şu şekildedir: $V_{ort} = \frac{2 \cdot V_1 \cdot V_2}{V_1 + V_2}$ Verilen değerleri formülde yerine yazalım: $V_1 = 60$ km/sa $V_2 = 90$ km/sa $V_{ort} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 90}{60 + 90} = \frac{10800}{150}$ Bölme işlemini yaparsak: $\frac{1080}{15} = 72$ km/sa bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Öncelikle iki işçinin de işin tamamını kaç günde bitireceğini bulmalıyız. Caner işin $\frac{1}{3}$'ünü 4 günde bitiriyorsa, tamamını $4 \cdot 3 = 12$ günde bitirir. Mert işin $\frac{1}{4}$'ünü 6 günde bitiriyorsa, tamamını $6 \cdot 4 = 24$ günde bitirir. İkisi birlikte 1 günde işin $(\frac{1}{12} + \frac{1}{24})$'ünü yaparlar. Birlikte 3 gün çalıştıklarında yapılan miktar: $3 \cdot (\frac{1}{12} + \frac{1}{24})$ Parantez içini payda eşitleyerek toplayalım: $3 \cdot (\frac{2}{24} + \frac{1}{24}) = 3 \cdot \frac{3}{24} = \frac{9}{24}$ Kesri 3 ile sadeleştirirsek $\frac{3}{8}$ buluruz. Sonuç: C şıkkı.

Dairesel pistte aynı yöne doğru hareket eden hareketlilerde hızların farkı alınır. Hızlı olanın yavaş olanı ilk kez yakalaması demek, hızlı olanın yavaş olana 1 tam tur fark atması demektir. Kapanması gereken mesafe pistin çevresine yani 400 metreye eşittir. Formül: $Pist \; C_{c}evresi = (V_1 - V_2) \cdot t$ $400 = (25 - 15) \cdot t$ $400 = 10 \cdot t \implies t = 40$ dakika. Sonuç: C şıkkı.

Bileşik orantı problemlerinde iş miktarları ile yapılan işle ilgili diğer değişkenler orantılanır. Kullanılan formül: $\frac{\text{1. İs}}{\text{2. İs}} = \frac{\text{1. İş için verilerin çarpımı}}{\text{2. İş için verilerin çarpımı}}$ 1. Durumda İş = 120 parça, Makineler = 6, Süre = 5 saat. 2. Durumda İş = $x$ parça, Makineler = 4, Süre = 8 saat. $\frac{120}{x} = \frac{6 \cdot 5}{4 \cdot 8}$ $\frac{120}{x} = \frac{30}{32}$ İçler dışlar çarpımı yapalım: $30 \cdot x = 120 \cdot 32$ $30$ ve $120$ sadeleşirse $x = 4 \cdot 32 = 128$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Trenin bir tüneli tamamen geçebilmesi için kendi boyu ile tünelin boyunun toplamı kadar yol alması gerekir. Alınan Toplam Yol = Trenin Boyu + Tünelin Boyu Alınan Toplam Yol = $200 + 800 = 1000$ metre. Geçiş süresi $t = 20$ saniye olarak verilmiştir. $Yol = Hız \cdot Zaman \implies 1000 = V \cdot 20$ $V = \frac{1000}{20} = 50$ m/sn bulunur. Sonuç: C şıkkı.

İşçinin ilk kapasitesine $100V$ diyelim. Bu hızla 20 günde bitiriyor. Toplam iş miktarı = $100V \cdot 20 = 2000V$ olur. İşçi kapasitesini %25 artırırsa yeni kapasitesi $100V + 25V = 125V$ olur. Yeni kapasitesiyle aynı işi $t$ günde bitirsin: $125V \cdot t = 2000V$ $t = \frac{2000}{125} = 16$ gün bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Teknenin durgun sudaki hızına $V_t$ diyelim. Akıntıya karşı giderken hızı: $V_t - 5$ Akıntı yönünde giderken hızı: $V_t + 5$ olur. Aynı mesafeyi gittikleri için alınan yollar eşittir: $(V_t - 5) \cdot 6 = (V_t + 5) \cdot 4$ Parantezleri açalım: $6V_t - 30 = 4V_t + 20$ $2V_t = 50 \implies V_t = 25$ km/sa. Sonuç: C şıkkı.

İşçilerin alacakları ücretler, çalışma hızları (kapasiteleri) ile doğru orantılıdır. Burak 10 günde, Cenk 15 günde bitiriyorsa, kapasiteleri ters orantılıdır. Burak'ın kapasitesi $3k$ ise Cenk'in kapasitesi $2k$'dır (Çarpımları 30'da eşitlenir). İş bitiminde toplam kapasite $3k + 2k = 5k$ oranında para dağıtılır. $5k = 3000 \implies k = 600$ TL. Burak'ın payı $3k = 3 \cdot 600 = 1800$ TL'dir. Sonuç: D şıkkı.

Araçlar zıt yönde hareket ettiklerinde hızları toplanır. Şehirler arası mesafe: $|XY| = (3V + 2V) \cdot 4 = 5V \cdot 4 = 20V$ olur. Eğer aynı yönde hareket etselerdi, aralarındaki 20V'lik mesafeyi hızları farkı ile kapatacaklardı. Yetişme süresi $t$ olsun: $20V = (3V - 2V) \cdot t$ $20V = V \cdot t \implies t = 20$ saat. Sonuç: E şıkkı.

Her birinin 1 günde yaptığı iş miktarını denkleme dökelim: Üçünün birlikte çalışma denklemi: $\frac{1}{A} + \frac{1}{H} + \frac{1}{S} = \frac{1}{4}$ Ahmet ve Hakan'ın birlikte çalışma denklemi: $\frac{1}{A} + \frac{1}{H} = \frac{1}{6}$ İkinci denklemi birinci denklemde yerine yazarsak: $\frac{1}{6} + \frac{1}{S} = \frac{1}{4}$ $\frac{1}{S} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6}$ Paydaları 12'de eşitleyelim (sırasıyla 3 ve 2 ile): $\frac{1}{S} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$ $S = 12$ gün. Sonuç: C şıkkı.

Planlanan süreye $t$ saat dersek, yolun tamamı $80 \cdot t$ olur. Araç ilk 2 saatte $80 \cdot 2 = 160$ km yol alır. Kalan süre mola hariç normalde $t - 2$ saat olmalıydı. Ancak 30 dk (0,5 saat) mola verdiği için aracın planlanan sürede varabilmesi için geriye $t - 2 - 0,5 = t - 2,5$ saat sürüş vakti kalmıştır. Kalan yolda hızını 100 km/sa yaparak bu sürede yolu tamamlıyor: $Kalan\, Yol = 100 \cdot (t - 2,5) = 100t - 250$ Toplam yol denklemi kuralım: $160 + 100t - 250 = 80t$ $100t - 90 = 80t \implies 20t = 90 \implies t = 4,5$ saat. Toplam yol = $80 \cdot t = 80 \cdot 4,5 = 360$ km. Sonuç: C şıkkı.

Usta ve çırağın üretim sürelerini ortak bir kata, örneğin 15 güne eşitleyelim. Usta 3 günde 4 çift üretiyorsa, 15 günde (5 katı) 20 çift ayakkabı üretir. Çırak 5 günde 3 çift üretiyorsa, 15 günde (3 katı) 9 çift ayakkabı üretir. İkisi birlikte 15 günde toplam: $20 + 9 = 29$ çift ayakkabı üretirler. Bizden 58 çift ayakkabı üretilmesi isteniyor. 58 sayısı 29'un 2 katıdır. 15 günde 29 çift ise, $x$ günde 58 çift orantısından: $x = 15 \cdot 2 = 30$ gün bulunur. Sonuç: C şıkkı.

A ile B arasındaki mesafeye $x$ km diyelim. Hızlı olan araç B'ye gidip 40 km geri döndüğü için aldığı toplam yol: $x + 40$ km'dir. Yavaş olan araç aynı sürede B'ye 40 km kala karşılaşma noktasına varmıştır. Aldığı yol: $x - 40$ km'dir. Her iki araç da aynı sürede bu yolları almıştır, dolayısıyla süreleri ($Zaman = \frac{Yol}{Hız}$) birbirine eşitleriz: $\frac{x + 40}{100} = \frac{x - 40}{80}$ Sadeleştirme yaparsak (20'ye bölersek): $\frac{x + 40}{5} = \frac{x - 40}{4}$ İçler dışlar çarpımı yapalım: $4x + 160 = 5x - 200 \implies x = 360$ km. Sonuç: D şıkkı.

Bir işçinin çalışma hızı (kapasitesi) ile işi bitirme süresi ters orantılıdır. Elif normalde işi 12 saatte bitiriyor. Hızını yarıya düşürürse, süre 2 katına çıkar: Yeni süresi 24 saat olur. Zeynep normalde işi 24 saatte bitiriyor. Hızını 2 katına çıkarırsa, süre yarıya düşer: Yeni süresi 12 saat olur. Yeni durumda Elif'in çalışma hızı $\frac{1}{24}$, Zeynep'in çalışma hızı $\frac{1}{12}$ olmuştur. Birlikte işi bitirme süreleri $t$ olsun: $t \cdot (\frac{1}{24} + \frac{1}{12}) = 1$ Paydaları 24'te eşitleyelim: $t \cdot (\frac{1}{24} + \frac{2}{24}) = 1 \implies t \cdot \frac{3}{24} = 1$ $\frac{3t}{24} = 1 \implies 3t = 24 \implies t = 8$ saat. Sonuç: B şıkkı.

Trenin hızını km/saat cinsinden m/saniye cinsine çevirmemiz gerekir. $90$ km/sa $= 90 \cdot \frac{1000 \text{ metre}}{3600 \text{ saniye}} = 25$ m/sn'dir. Trenin bir tüneli tamamen geçmesi için alması gereken yol: $Yol = L_{tren} + L_{tünel}$ şeklindedir. Zaman $t = 12$ saniye olarak verilmiştir. $Yol = Hız \cdot Zaman \implies L_{tren} + L_{tünel} = 25 \cdot 12 = 300$ metre. Trenin kendi uzunluğu 150 metre olduğuna göre: $150 + L_{tünel} = 300 \implies L_{tünel} = 150$ metre bulunur. Sonuç: C şıkkı.