DGS DGS (Dikey Geçiş Sınavı) Temel Kavramlar & Dört İşlem Testi #7

İşlem önceliğine göre önce parantez içindeki çarpma, sonra çıkarma yapılır. 1. Adım: $4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$ İfade şu hale gelir: $18 - 3 \cdot (-2) + 12 \div (-4)$ 2. Adım: Çarpma ve bölme işlemleri yapılır. $-3 \cdot (-2) = 6$ $12 \div (-4) = -3$ 3. Adım: Kalan toplama ve çıkarma işlemleri yapılır. $18 + 6 - 3 = 24 - 3 = 21$ Sonuç: D şıkkı.

Eşitliği inceleyelim: $3a + 4b = 26$ $4b$ ifadesi, $b$ tam sayı olduğu için daima çift sayıdır. 26 sayısı da bir çift sayıdır. Bir sayı ile çift sayının toplamı çift sayı ise, o sayı da çift olmalıdır. Yani $3a$ çift sayıdır. 3 tek bir sayı olduğuna göre, $3a$'nın çift olabilmesi için $a$'nın kesinlikle çift sayı olması gerekir. $a$'nın çift olduğu kesinleşti. Ancak $a = 2$ için $4b = 20 \implies b = 5$ (tek sayı) veya $a = 6$ için $4b = 8 \implies b = 2$ (çift sayı) olabileceğinden, $b$'nin tekliği veya çiftliği kesin değildir. Sonuç: C şıkkı.

Ardışık tek tam sayılar arasındaki fark 2'dir. Buna göre; $y - x = 2 \implies x - y = -2$ $z - y = 2 \implies y - z = -2$ $z - x = 4$ Bu değerleri sorulan ifadede yerine yazalım: $\frac{(-2) \cdot 4}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4$ Sonuç: D şıkkı.

Seçenekleri inceleyelim: A) $a + b$: $a$ negatif, $b$ pozitif. Mutlak değerleri bilinmediği için sonuç negatif, pozitif veya sıfır olabilir. B) $a \cdot b + c$: $a \cdot b$ negatif, $c$ pozitif. Toplamın işareti belirsizdir. C) $\frac{a-b}{c}$: $a-b$ her zaman negatiftir, $c$ pozitiftir. Sonuç negatiftir. D) $a^2 \cdot b - c$: $a^2$ pozitif, $b$ pozitif. Çarpım pozitiftir ancak $c$'den küçük mü büyük mü bilinmediğinden sonuç belirsizdir. E) $\frac{b-a}{c-b}$: $b-a$ ifadesi (Büyük - Küçük) pozitif bir sonuç verir. $c-b$ ifadesi de (Büyük - Küçük) pozitif bir sonuç verir. Pozitif / Pozitif = Pozitif. Bu ifade daima pozitiftir. Sonuç: E şıkkı.

İki basamaklı sayıları çözümleyelim: $AB = 10A + B$ $BA = 10B + A$ Denklemde yerine yazalım: $(10A + B) - (10B + A) = 54$ $9A - 9B = 54$ $9(A - B) = 54 \implies A - B = 6$ $BA$ iki basamaklı bir sayı olduğundan $B \neq 0$'dır. $A$ ve $B$ birer rakamdır. Bu şartı sağlayan (A, B) ikilileri: (7, 1), (8, 2) ve (9, 3)'tür. $A + B$'nin en büyük değeri $9 + 3 = 12$ olur. Sonuç: C şıkkı.

Faktöriyelli ifadeleri ortak paranteze almak için küçük olan faktöriyele benzetelim. $(n+2)! = (n+2) \cdot (n+1)!$ İfadeyi yeniden yazalım: Pay: $(n+2) \cdot (n+1)! + 1 \cdot (n+1)! = (n+1)! \cdot (n+2+1) = (n+1)! \cdot (n+3)$ Payda: $(n+2) \cdot (n+1)! - 1 \cdot (n+1)! = (n+1)! \cdot (n+2-1) = (n+1)! \cdot (n+1)$ Kesri düzenlersek: $\frac{(n+1)! \cdot (n+3)}{(n+1)! \cdot (n+1)}$ $(n+1)!$ ifadeleri sadeleşir: $\frac{n+3}{n+1} = \frac{5}{3}$ İçler dışlar çarpımı yapalım: $3(n+3) = 5(n+1)$ $3n + 9 = 5n + 5$ $4 = 2n \implies n = 2$ Sonuç: B şıkkı.

$a$'nın en büyük değerini alabilmesi için $b$ ve $c$'nin katsayılarıyla çarpıldığında en küçük değeri verecek farklı pozitif tam sayılar olması gerekir. $b$ ve $c$'ye 1 ve 2 değerlerini vereceğiz. Katsayısı büyük olana en küçük sayıyı vermeliyiz ki toplam küçük kalsın ve $a$'ya büyük bir pay kalsın. $c = 1$ ve $b = 2$ diyelim: $2a + 3(2) + 4(1) = 43 \implies 2a + 10 = 43 \implies 2a = 33$ (33 ikiye tam bölünmez, $a$ tam sayı olmaz). Farklı değerler deneyelim, $c = 2$ ve $b = 1$ olsun: $2a + 3(1) + 4(2) = 43 \implies 2a + 11 = 43 \implies 2a = 32 \implies a = 16$. $a = 16, b = 1, c = 2$ birbirlerinden farklı pozitif tam sayılardır. Dolayısıyla $a$'nın alabileceği en büyük değer 16'dır. Sonuç: C şıkkı.

Önce parantez içindeki işlemi yapalım: $3 \Delta 2 = 3 \cdot 2 - (3+2) = 6 - 5 = 1$ Bulduğumuz sonucu dıştaki işlemde yerine yazalım: $1 \nabla 2 = 1^2 - 2^1$ $1 \nabla 2 = 1 - 2 = -1$ Sonuç: C şıkkı.

Verilen üç eşitliği taraf tarafa çarpalım: $(x \cdot y) \cdot (y \cdot z) \cdot (x \cdot z) = 12 \cdot 18 \cdot 24$ $x^2 \cdot y^2 \cdot z^2 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3^2) \cdot (2^3 \cdot 3)$ $(x \cdot y \cdot z)^2 = 2^6 \cdot 3^4$ Karekök alırsak (sayılar pozitif olduğundan): $x \cdot y \cdot z = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$ Şimdi tek tek sayıları bulalım: $x = \frac{x \cdot y \cdot z}{y \cdot z} = \frac{72}{18} = 4$ $y = \frac{x \cdot y \cdot z}{x \cdot z} = \frac{72}{24} = 3$ $z = \frac{x \cdot y \cdot z}{x \cdot y} = \frac{72}{12} = 6$ Toplamları: $4 + 3 + 6 = 13$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

$p$ asal bir sayı olduğu için pozitif çarpanları sadece 1 ve $p$'dir. $b$ bir pozitif tam sayı olduğundan ($b \ge 1$), $b+3$ ifadesi en az 4 olur. Bu nedenle çarpanlardan 1'e eşit olan kısım $(a-2)$ olmalıdır. $a - 2 = 1 \implies a = 3$ Diğer çarpan da $p$'ye eşit olacaktır: $b + 3 = p \implies b = p - 3$ Bizden istenen $a + b$ toplamıdır: $a + b = 3 + (p - 3) = p$ Sonuç: B şıkkı.

$(2x-3)$ ve $(y+2)$ aralarında asal olduğundan, kesrin karşı tarafının da en sade halinde (aralarında asal formda) olması gerekir. $\frac{21}{35}$ kesrini 7 ile sadeleştirelim: $\frac{21}{35} = \frac{3}{5}$ Artık payları paylara, paydaları paydalara eşitleyebiliriz: $2x - 3 = 3 \implies 2x = 6 \implies x = 3$ $y + 2 = 5 \implies y = 3$ $x + y = 3 + 3 = 6$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

İfadenin en büyük değerini alabilmesi için katsayısı pozitif ve büyük olan değişkenlere en büyük rakamları, katsayısı negatif olanlara ise en küçük rakamları vermeliyiz. Rakamlar: $\{0, 1, 2, \dots, 9\}$ Katsayısı en büyük olan $A$'ya verebileceğimiz en büyük rakam: $A = 9$ Katsayısı ikinci büyük olan $B$'ye (birbirinden farklı oldukları için) vereceğimiz rakam: $B = 8$ Katsayısı negatif olan $C$'ye verebileceğimiz en küçük rakam: $C = 0$ Değerleri yerine yazalım: $3(9) + 2(8) - 0 = 27 + 16 - 0 = 43$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Şıkları deneyelim veya mantık yürütelim. Sonucun 6 gibi küçük bir sayı çıkması için bölme veya çıkarma işlemi kullanmak gerekir. İlk dairenin bölme ($\div$) olduğunu varsayalım: $18 \div 6 = 3$ Geriye kalan denklem: $3 \bigcirc 3 = 6$ halini alır. Burada dairenin içine toplama ($+$) işlemi gelirse eşitlik sağlanır: $3 + 3 = 6$. Dolayısıyla sırasıyla işlemler $(\div, +)$ olmalıdır. Sonuç: B şıkkı.

Verilen bölme işlemlerini denklem olarak yazalım: 1. İşlem: $A = 4B + 3$ 2. İşlem: $B = 3C + 2$ $A$'nın 12 ile bölümünden kalanı bulmak için, $B$'nin eşiti olan ifadeyi birinci denklemde yerine yazalım: $A = 4(3C + 2) + 3$ $A = 12C + 8 + 3$ $A = 12C + 11$ $A$ sayısı $12C$ (12'nin tam katı) ile 11'in toplamına eşittir. Dolayısıyla $A$'nın 12'ye bölümünden kalan 11'dir. Sonuç: E şıkkı.

Sondan kaç basamağın sıfır olduğunu bulmak için toplamın içinde kaç tane 10 çarpanı (yani 5 çarpanı, çünkü 2 çarpanı fazlasıyla vardır) olduğuna bakılır. Önce ifadeyi ortak faktöriyel parantezine alalım: $23! + 24 \cdot 23! = 23!(1 + 24) = 23! \cdot 25$ Sondaki sıfır sayısını bulmak için çarpanların içindeki 5 sayısını hesaplarız. $23!$ içindeki 5 çarpanı sayısını bulmak için 23'ü sürekli 5'e böleriz: $23 \div 5 = 4$ (bölüm 4, tekrar 5'e bölünmez). Buradan 4 tane 5 çarpanı gelir. Diğer çarpan olan 25 sayısı, $5^2$'ye eşittir ve buradan da 2 tane 5 çarpanı gelir. Toplam 5 çarpanı sayısı = $4 + 2 = 6$'dır. Dolayısıyla sayının sondan 6 basamağı sıfırdır. Sonuç: C şıkkı.

Verilen eşitlikleri tek bir değişkene bağlayalım. $y = 2z$ olduğunu biliyoruz. Bunu $x = 3y$ denkleminde yerine yazalım: $x = 3(2z) = 6z$ Artık hepsini $z$ cinsinden ifade edebiliriz: $x + y + z = 6z + 2z + z = 9z$ Değişkenler negatif tam sayı olduğuna göre toplamın en büyük (yani sıfıra en yakın) olması için $z$'nin alabileceği en büyük negatif tam sayı değerini vermeliyiz. $z = -1$ için; Toplam = $9(-1) = -9$ olur. Sonuç: A şıkkı.

Verilen cebirsel ifadeyi açıp sadeleştirelim: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ İfadeyi yerine yazarsak: $x^2 + 2xy + y^2 - 4xy = x^2 - 2xy + y^2$ Elde edilen ifade $(x-y)^2$ nin açılımıdır. Öyleyse ifadenin değeri: $(2024 - 2023)^2 = (1)^2 = 1$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

İfadenin bir tam sayı olabilmesi için $(x-2)$ ifadesinin 3'ü tam bölen bir tam sayı olması gerekir. 3'ün tam sayı bölenleri: $\{-3, -1, 1, 3\}$ Buna göre $x-2$ sırasıyla bu değerlere eşitlenir: $x - 2 = -3 \implies x = -1$ $x - 2 = -1 \implies x = 1$ $x - 2 = 1 \implies x = 3$ $x - 2 = 3 \implies x = 5$ Ancak soruda $x$'in pozitif bir tam sayı olduğu belirtilmiştir. Bu nedenle $x = -1$ olamaz. Alabileceği değerler: $\{1, 3, 5\}$ Değerlerin toplamı: $1 + 3 + 5 = 9$ olur. Sonuç: C şıkkı.

İç içe parantezli işlemlerde en içten dışa doğru işlem yapılır. 1. Adım (En içteki parantez): $4 - (-1) = 4 + 1 = 5$ İfade güncellenir: $-2 - [-3 + 2 \cdot 5]$ 2. Adım (Köşeli parantez içi, çarpma önceliği): $2 \cdot 5 = 10$ $-3 + 10 = 7$ 3. Adım (Kalan işlemler): İfade $-2 - [7]$ halini alır. $-2 - 7 = -9$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

Verilen bilgileri inceleyelim: $a^2 \cdot b^3$ tek ise, çarpımı oluşturan tüm çarpanlar tek olmalıdır. Bu yüzden $a$ tektir, $b$ tektir. $a \cdot c$ çift ise, çarpanlardan en az biri çift olmalıdır. $a$'nın tek olduğunu bulduğumuz için $c$ kesinlikle çift bir sayıdır. Özetle: $a = Tek$, $b = Tek$, $c = Çift$ Seçenekleri analiz edelim: A) $a - c \implies Tek - Çift = Tek$ B) $b + c \implies Tek + Çift = Tek$ C) $a \cdot b \cdot c + 1 \implies (Tek \cdot Tek \cdot Çift) + 1 = Çift + 1 = Tek$ D) $a^3 + b^2 + c \implies Tek^3 + Tek^2 + Çift = Tek + Tek + Çift = Çift + Çift = Çift$ (Daima çift) E) $a \cdot (b+c) \implies Tek \cdot (Tek+Çift) = Tek \cdot Tek = Tek$ Sonuç: D şıkkı.