KPSS KPSS Lisans (Genel Yetenek & Genel Kültür) Ardışık Sayılar Testi #1

Ardışık iki tek tam sayı arasındaki fark $2$ veya $-2$'dir. 1. Durum: $(3n - 4) - (2n + 7) = 2 \implies n - 11 = 2 \implies n = 13$ ($n = 13$ için sayılar 35 ve 33 olur, ardışık tek sayılardır.) 2. Durum: $(3n - 4) - (2n + 7) = -2 \implies n - 11 = -2 \implies n = 9$ ($n = 9$ için sayılar 23 ve 25 olur, ardışık tek sayılardır.) Buradan $n$'nin alabileceği değerler toplamı: $13 + 9 = 22$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

Ardışık 7 tek sayının toplamı 189 ise ortanca sayı (4. sayı): $\frac{189}{7} = 27$ olur. Sayılar ikişer ikişer artacağından: 1. sayı (en küçük): $27 - 3 \times 2 = 21$ 7. sayı (en büyük): $27 + 3 \times 2 = 33$ En küçük ile en büyüğün çarpımı: $21 \times 33 = 693$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

$a, b, c$ ardışık çift sayılar olduğundan $b = a + 2$ ve $c = a + 4$'tür. Parantez içleri düzenlenirse: $\frac{a - 2}{a} \cdot \frac{a}{a + 2} \cdot \frac{a + 2}{a + 4} = \frac{3}{4}$ Sadeleştirmeler yapıldığında: $\frac{a - 2}{a + 4} = \frac{3}{4}$ $4(a - 2) = 3(a + 4) \implies 4a - 8 = 3a + 12 \implies a = 20$ Sayılar: $a = 20$, $b = 22$, $c = 24$ olur. Toplam: $20 + 22 + 24 = 66$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

$A$ dizisinin terim sayısı: $\frac{99 - 12}{3} + 1 = \frac{87}{3} + 1 = 30$ $B$ dizisinin terim sayısı: $\frac{95 - 8}{3} + 1 = \frac{87}{3} + 1 = 30$ Her iki dizide de eşit sayıda (30 adet) terim vardır. $A - B = (12 - 8) + (15 - 11) + (18 - 14) + \dots + (99 - 95)$ Her bir parantezin değeri $4$'tür. Toplam fark: $30 \times 4 = 120$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

Küçük sayıya $x$, büyük sayıya $y$ diyelim. Sayılar ardışık tek sayı olduğundan $y - x = 2$'dir. Kareler farkı özdeşliği: $y^2 - x^2 = (y - x)(y + x) = 128$ $2(y + x) = 128 \implies y + x = 64$ İki bilinmeyenli denklemi çözelim: $y + x = 64$ $y - x = 2$ Taraf tarafa toplanırsa: $2y = 66 \implies y = 33$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

Sayılar $x, x+2, x+4, x+6, x+8, x+10$ olsun. Toplam: $K = 6x + 30$ En küçük sayı $x$, en büyük sayı $x + 10$'dur. Toplamları: $x + (x + 10) = 2x + 10$ $K = 6x + 30 = 3(2x + 10)$ olduğuna göre: $2x + 10 = \frac{K}{3}$ olarak bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

Sayılar ardışık tam sayılar olduğundan farklar sabittir: $y - x = 1$ $z - y = 1$ $z - x = 2$ Bu değerler ifadede yerine yazılırsa: Pay: $(2)^4 - 4(1)^2 = 16 - 4 = 12$ Payda: $(1)^3 + 2 = 1 + 2 = 3$ Sonuç: $\frac{12}{3} = 4$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

Sayfa numaralarında kullanılan rakamları basamak sayılarına göre ayıralım: - 1 basamaklı sayfalar (1'den 9'a kadar): $9 \times 1 = 9$ rakam. - 2 basamaklı sayfalar (10'dan 99'a kadar): $90 \times 2 = 180$ rakam. İlk 99 sayfa için toplam: $9 + 180 = 189$ rakam kullanılmıştır. Geriye kalan rakam sayısı: $204 - 189 = 15$ rakamdır. 100'den itibaren her sayfa 3 basamaklı olduğundan: $\frac{15}{3} = 5$ sayfa daha numaralandırılmıştır. Toplam sayfa sayısı: $99 + 5 = 104$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

$A = 1 + 2 + \dots + 9 + 10 + \dots + n$ $B = 10 + 11 + \dots + n$ İki ifadenin farkı: $A - B = 1 + 2 + \dots + 9 = \frac{9 \times 10}{2} = 45$ Verilen eşitlik: $A + B = 375$ Taraf tarafa toplayalım: $2A = 420 \implies A = 210$ $A = \frac{n(n + 1)}{2} = 210 \implies n(n + 1) = 420$ $20 \times 21 = 420$ olduğundan $n = 20$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

En küçük sayıya $x$ diyelim. Sayılar 3'ün katı ardışık tam sayılar olduğundan üçer üçer artar: $x, x+3, x+6, x+9, x+12$ Sayıların toplamı: $5x + 30$ Verilen denklem: $5x + 30 = 7x - 18$ $30 + 18 = 7x - 5x$ $48 = 2x \implies x = 24$ En büyük sayı: $x + 12 = 24 + 12 = 36$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

Her terim $n \cdot (n + 3)$ biçimindedir ($n = 2, 3, \dots, 16$). Çarpanlar 1'er artırıldığında yeni terim: $(n + 1)(n + 4) = n^2 + 5n + 4$ Eski terim: $n^2 + 3n$ Her terimdeki artış: $(n^2 + 5n + 4) - (n^2 + 3n) = 2n + 4$ Terim sayısı: $16 - 2 + 1 = 15$'tir. Artış miktarı ardışık terimlerin toplamıdır: Ortanca terim ($n = 9$ için): $2(9) + 4 = 22$ Toplam artış $= 15 \times 22 = 330$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1680 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $1680 = 168 \times 10 = (24 \times 7) \times 10 = 2^4 \times 3 \times 5 \times 7$ Bu çarpanlardan ardışık 4 pozitif tam sayı oluşturalım: $5, 6 (2 \times 3), 7, 8 (2^3)$ Sayılar sırasıyla 5, 6, 7 ve 8'dir. Çarpımları: $5 \times 6 \times 7 \times 8 = 1680$ Toplamları: $5 + 6 + 7 + 8 = 26$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

Piramidin satır toplamları incelendiğinde: 1. satır: $1 = 1^3$ 2. satır: $3 + 5 = 8 = 2^3$ 3. satır: $7 + 9 + 11 = 27 = 3^3$ 4. satır: $13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4^3$ Kurala göre $n$. satırdaki sayıların toplamı $n^3$'e eşittir. Dolayısıyla 8. satırdaki sayıların toplamı: $8^3 = 512$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

$b = a + 2$ ve $c = a + 4$ eşitliklerini denklemde yerine yazalım: $a(a + 4) = 4(a + 2) + 56$ $a^2 + 4a = 4a + 8 + 56$ $a^2 = 64 \implies a = 8$ (pozitif tam sayı olduğundan) Sayılar: $a = 8$, $b = 10$, $c = 12$ olur. Toplam: $8 + 10 + 12 = 30$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

İfadedeki terimler 3'ten 87'ye kadar ardışık tek sayılardır. Toplam terim sayısı: $\frac{87 - 3}{2} + 1 = 43$ Terimleri ikişerli gruplandıralım: $(3 - 5) + (7 - 9) + (11 - 13) + \dots + (83 - 85) + 87$ İlk 42 terim 21 adet ikili grup oluşturur ve her grubun değeri $-2$'dir: $21 \times (-2) = -42$ Son terim olan $+87$ eklendiğinde: $-42 + 87 = 45$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

En küçük sayı 11 ise, ardışık $n$ tane tek sayının son terimi: $11 + 2(n - 1) = 2n + 9$ olur. Ortalama: $\frac{11 + (2n + 9)}{2} = \frac{2n + 20}{2} = n + 10$ Toplam formülü: $\text{Terim Sayısı} \times \text{Ortalama}$ $n(n + 10) = 200$ $n^2 + 10n - 200 = 0$ $(n - 10)(n + 20) = 0$ $n$ pozitif olduğundan $n = 10$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

Paydalar eşitlenirse: $\frac{b - a}{a \cdot b} = \frac{1}{72}$ $a$ ve $b$ ardışık tam sayılar olduğundan $b - a = 1$'dir. Buradan: $\frac{1}{a \cdot b} = \frac{1}{72} \implies a \cdot b = 72$ Çarpımları 72 olan ardışık pozitif tam sayılar 8 ve 9'dur ($a = 8$, $b = 9$). Toplamları: $a + b = 8 + 9 = 17$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

En küçük sayıya $x$ diyelim. Sayılar: $x, x+2, x+4, x+6, x+8, x+10, x+12, x+14$ Toplam: $8x + (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14) = 8x + 56$ $8x + 56 = 152$ $8x = 96 \implies x = 12$ En büyük sayı: $x + 14 = 12 + 14 = 26$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

$k$ tane ardışık pozitif tam sayının ilk terimi $a$ olsun ($k \ge 2$, $a \ge 1$). Toplam: $\frac{k(2a + k - 1)}{2} = 75 \implies k(2a + k - 1) = 150$ Burada $k < 2a + k - 1$ olmalı ve çarpanlardan biri tek, diğeri çift olmalıdır: 1) $k = 2 \implies 2a + 1 = 75 \implies 2a = 74 \implies a = 37$ ($37 + 38 = 75$) 2) $k = 3 \implies 2a + 2 = 50 \implies 2a = 48 \implies a = 24$ ($24 + 25 + 26 = 75$) 3) $k = 5 \implies 2a + 4 = 30 \implies 2a = 26 \implies a = 13$ ($13 + 14 + 15 + 16 + 17 = 75$) 4) $k = 6 \implies 2a + 5 = 25 \implies 2a = 20 \implies a = 10$ ($10 + 11 + \dots + 15 = 75$) 5) $k = 10 \implies 2a + 9 = 15 \implies 2a = 6 \implies a = 3$ ($3 + 4 + \dots + 12 = 75$) $k \ge 15$ için $a \le 0$ çıkacağından pozitiflik koşulu sağlanmaz. Dolayısıyla 5 farklı şekilde yazılabilir. Doğru cevap B seçeneğidir.

Sayılar ardışık çift tam sayılar olduğundan $a$ cinsinden yazalım: $b = a + 2$ $c = a + 4$ $d = a + 6$ $e = a + 8$ Payı hesaplayalım: $b \cdot d = (a + 2)(a + 6) = a^2 + 8a + 12$ $a \cdot e = a(a + 8) = a^2 + 8a$ $b \cdot d - a \cdot e = (a^2 + 8a + 12) - (a^2 + 8a) = 12$ Paydayı hesaplayalım: $c - a = (a + 4) - a = 4$ Oran: $\frac{12}{4} = 3$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.