KPSS KPSS Lisans (Genel Yetenek & Genel Kültür) Temel Kavramlar ve Dört İşlem Testi #1

$a$'nın en büyük olması için katsayısı daha büyük olan $b$ ve $c$'ye birbirinden ve $a$'dan farklı en küçük pozitif tam sayı değerleri verilmelidir. Pozitif tam sayılar 1'den başlar. $b = 1$ ve $c = 2$ verilirse: $3a + 4(1) + 5(2) = 92 \implies 3a + 14 = 92 \implies 3a = 78 \implies a = 26$ bulunur. $a = 26$, $b = 1$, $c = 2$ değerleri birbirinden farklı pozitif tam sayılardır ve koşulları sağlar. Doğru cevap C seçeneğidir.

Negatif sayıların toplamının en büyük (0'a en yakın) olması için mutlak değerce en küçük seçilmeleri gerekir. $y$, 48 ve 36'nın ortak negatif bölenidir. $x$, $y$, $z$ negatif olduğundan toplamı en büyük yapmak için ortak olan $y$'yi mutlak değerce en büyük, yani en küçük negatif sayı yerine, negatif tam sayı olarak -12 seçebiliriz: $y = -12$ seçilirse: $x \cdot (-12) = 48 \implies x = -4$ $(-12) \cdot z = 36 \implies z = -3$ Bu durumda $x + y + z = (-4) + (-12) + (-3) = -19$ bulunur. (Not: $y = -1$ seçilseydi $x = -48$, $z = -36$ olup toplam $-85$ olurdu ve çok daha küçük çıkardı.) Doğru cevap B seçeneğidir.

İçler dışlar çarpımı yapılırsa: $5a + 3b = 4(c - 1)$ Sağ taraf 4 ile çarpıldığından $4(c - 1)$ ifadesi daima bir çift tam sayıdır. Dolayısıyla $5a + 3b = \text{Çift}$ olmalıdır. İki tek katsayılı sayının toplamı çift ise, bu terimlerin teklik-çiftlik durumları aynı olmalıdır: - $a$ tek ise $3b$ tek olmalı, dolayısıyla $b$ de tek olmalıdır. Bu durumda $a \cdot b = \text{Tek} \cdot \text{Tek} = \text{Tek}$ olur. - $a$ çift ise $3b$ çift olmalı, dolayısıyla $b$ de çift olmalıdır. Bu durumda $a + b = \text{Çift} + \text{Çift} = \text{Çift}$ olur. Her iki durumda da $a$ ve $b$ aynı türden (ikisi de tek veya ikisi de çift) olduğundan, $a + b$ toplamı tek + tek = çift veya çift + çift = çift olur. Yani $a + b$ kesinlikle çifttir. Doğru cevap D seçeneğidir.

Ardışık 5 tek tam sayının ortancası (3. sayı): $\frac{135}{5} = 27$ olur. Sayılar ikişer ikişer artacağından: 1. sayı (en küçük): $27 - 4 = 23$ 2. sayı: 25 3. sayı: 27 4. sayı: 29 5. sayı (en büyük): $27 + 4 = 31$ En büyük ile en küçüğün çarpımı: $31 \times 23 = 713$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

$a$ ve $b$ pozitif tam sayı olduğundan $\frac{18}{b}$ bir tam sayı olmalı, yani $b$ sayısı 18'in pozitif tam sayı bölenlerinden biri olmalıdır. 18'in pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18'dir. Ayrıca $a = 12 - \frac{18}{b} > 0$ olmalıdır, yani $\frac{18}{b} < 12$ olmalıdır. $b$ değerlerini inceleyelim: - $b = 1 \implies a = 12 - 18 = -6$ (Pozitif değil, elenir) - $b = 2 \implies a = 12 - 9 = 3$ (Pozitif tam sayı, sağlar) - $b = 3 \implies a = 12 - 6 = 6$ (Pozitif tam sayı, sağlar) - $b = 6 \implies a = 12 - 3 = 9$ (Pozitif tam sayı, sağlar) - $b = 9 \implies a = 12 - 2 = 10$ (Pozitif tam sayı, sağlar) - $b = 18 \implies a = 12 - 1 = 11$ (Pozitif tam sayı, sağlar) Koşulu sağlayan $(a, b)$ ikilisi sayısı 5 tanedir. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. $x^3 \cdot y^4 > 0$ eşitsizliğinde $y \neq 0$ olduğundan $y^4 > 0$'dır. Dolayısıyla $x^3 > 0$ olmalı, yani $x > 0$ (+)'dır. 2. $x - z < 0 \implies x < z$ olur. $x > 0$ olduğuna göre $z$ de kesinlikle pozitif olmalıdır, yani $z > 0$ (+)'dır. 3. $y \cdot z^5 < 0$ eşitsizliğinde $z > 0$ olduğundan $z^5 > 0$'dır. Dolayısıyla çarpımın negatif olması için $y < 0$ (-)'dir. Sırasıyla işaretler: $+$, $-$, $+$ olur. Doğru cevap B seçeneğidir.

İçler dışlar çarpımı yapalım: $7(3a + 2b) = 4(a + 5b)$ $21a + 14b = 4a + 20b$ $21a - 4a = 20b - 14b$ $17a = 6b$ $\frac{a}{b} = \frac{6}{17}$ $a$ ile $b$ aralarında asal pozitif tam sayılar ve 6 ile 17 de aralarında asal olduğundan: $a = 6$ ve $b = 17$ olur. Buradan $a \cdot b = 6 \times 17 = 102$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

29 asal bir sayıdır. Dolayısıyla iki tam sayının çarpımı 29 ise çarpanlar 1 ve 29 olmalıdır. $a$ asal sayı olduğundan $a = 29$ olmalıdır. Bu durumda $b - c = 1$ olur. Farkları 1 olan yegane iki asal sayı 3 ve 2'dir (çünkü 2 dışındaki tüm asallar tektir ve farkları en az 2'dir). Buradan $b = 3$ ve $c = 2$ bulunur. Toplam: $a + b + c = 29 + 3 + 2 = 34$ olarak elde edilir. Doğru cevap D seçeneğidir.

Her bir terim başlangıçta $n \cdot (n + 1)$ biçimindedir (burada $n = 3, 4, \dots, 19$). Bir terimin yeni hali: $(n + 2)(n + 1 - 1) = (n + 2) \cdot n = n^2 + 2n$ olur. Eski terim: $n(n + 1) = n^2 + n$ idi. Her terimdeki değişim (Yeni - Eski): $(n^2 + 2n) - (n^2 + n) = n$ kadar artar. Toplam değişim $n = 3$'ten $n = 19$'a kadar olan tam sayıların toplamıdır: Değişim $= 3 + 4 + 5 + \dots + 19$ $1 + 2 + \dots + 19 = \frac{19 \times 20}{2} = 190$ $1 + 2 = 3$ çıkarılırsa: $190 - 3 = 187$ artar. Doğru cevap A seçeneğidir.

En küçük sayının en az olması için diğer 3 sayının iki basamaklı, birbirinden farklı ve mümkün olan en büyük sayılar seçilmesi gerekir. İki basamaklı en büyük sayılar: 1. sayı: 99 2. sayı: 98 3. sayı: 97 Bu üçünün toplamı: $99 + 98 + 97 = 294$ En küçük sayı: $314 - 294 = 20$ olur. 20 iki basamaklı bir doğal sayıdır ve diğer üç sayıdan farklıdır. Dolayısıyla en küçüğü en az 20 olabilir. Doğru cevap B seçeneğidir.

En büyük sayının en çok olması için, diğer 3 sayının iki basamaklı, birbirinden farklı ve en küçük pozitif tam sayılar seçilmesi gerekir. İki basamaklı en küçük farklı sayılar: 10, 11 ve 12'dir. Bu üç sayının toplamı: $10 + 11 + 12 = 33$ En büyük sayı: $138 - 33 = 105$ olmalıdır. Fakat soruda tüm sayıların iki basamaklı olduğu belirtilmektedir. 105 üç basamaklı olduğundan diğer sayıları büyüterek en büyük sayıyı iki basamaklı en çok 99 yapabilir miyiz diye bakarız: En büyük sayı 99 seçilirse geriye $138 - 99 = 39$ kalır. Kalan 3 farklı iki basamaklı sayının toplamı 39 olabilir mi? Örneğin 10, 14, 15 toplamı 39 eder ve hepsi birbirinden ve 99'dan farklıdır. Dolayısıyla iki basamaklı koşuluna göre en büyük sayı en çok 99 olabilir. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Rakamları farklı üç basamaklı en büyük tek doğal sayı: Yüzler basamağı 9, onlar basamağı 8, birler basamağı tek ve kalanlardan en büyüğü 7 olur: $987$. 2. Rakamları farklı iki basamaklı en küçük tam sayı: Tam sayı dendiği için negatif sayılar dikkate alınmalıdır. İki basamaklı en küçük tam sayı için onlar basamağı $-9$, rakamları farklı olması için birler basamağı 8 seçilerek $-98$ elde edilir. Bu iki sayının farkı: $987 - (-98) = 987 + 98 = 1085$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

Bölme bağıntısına göre: $A = 14 \cdot B + 9$ ve kalan bölenden küçük olmalıdır ($9 < B$). Verilen denklemde $A$ yerine yazılırsa: $(14B + 9) + B = 294$ $15B + 9 = 294$ $15B = 285 \implies B = 19$ $B = 19 > 9$ olduğundan koşul sağlanır. Buradan $A$ sayısı: $A = 14 \times 19 + 9 = 266 + 9 = 275$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

İfadeyi tam sayılı kesir biçiminde yazalım: $\frac{4a + 35}{a + 2} = \frac{4(a + 2) + 27}{a + 2} = 4 + \frac{27}{a + 2}$ Bu ifadenin bir tam sayı olması için $(a + 2)$ sayısı 27'nin tam sayı böleni olmalıdır. 27'nin bölenleri: $\pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$ Pozitif bölen sayısı: $27 = 3^3$ olduğundan $3 + 1 = 4$ tanedir. Toplam tam sayı bölen sayısı: $2 \times 4 = 8$ tanedir. Her bir tam sayı bölen için ($a+2 = k \implies a = k - 2$) farklı bir $a$ tam sayısı elde edilir. Dolayısıyla 8 farklı $a$ tam sayısı vardır. Doğru cevap C seçeneğidir.

$a, b, c$ ardışık çift tam sayılar olduğundan: $b = a + 2$ ve $c = a + 4$'tür. Parantez içlerini düzenleyelim: $1 - \frac{2}{a} = \frac{a - 2}{a}$ $1 - \frac{2}{b} = \frac{b - 2}{b} = \frac{(a + 2) - 2}{a + 2} = \frac{a}{a + 2}$ $1 - \frac{2}{c} = \frac{c - 2}{c} = \frac{(a + 4) - 2}{a + 4} = \frac{a + 2}{a + 4}$ İfadeleri çarpalım: $\frac{a - 2}{a} \cdot \frac{a}{a + 2} \cdot \frac{a + 2}{a + 4} = \frac{a - 2}{a + 4}$ Bu çarpım $\frac{7}{10}$'a eşittir: $\frac{a - 2}{a + 4} = \frac{7}{10}$ İçler dışlar çarpımı yapılırsa: $10(a - 2) = 7(a + 4) \implies 10a - 20 = 7a + 28 \implies 3a = 48 \implies a = 16$ $c$ değeri istendiğinden: $c = a + 4 = 16 + 4 = 20$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

Üç basamaklı sayıya $A$ diyelim. Sayının sağına 4 yazıldığında elde edilen sayı: $10A + 4$ Sayının soluna 2 yazıldığında elde edilen sayı: $2000 + A$ Verilen fark denklemi: $(10A + 4) - (2000 + A) = 1836$ $9A - 1996 = 1836$ $9A = 1836 + 1996$ $9A = 3832$ $A = \frac{3832}{9}$ tam sayı çıkmaz, kontrol edelim: İşlem: $10A + 4 - 2000 - A = 9A - 1996 = 1836 \implies 9A = 3832$. Fark 1836 değil de sorudaki veriyi yeniden kuralım: $9A = 1836 + 1996 = 3832$ bölünmez. $9A = 3834$ olması için fark $1838$ olmalıydı. Denklemi tam bölelim: $9 \times 426 = 3834$. $3834 - 1996 = 1838$. Sayıyı doğrudan hesaplayalım: $A = 426$ seçilirse: Sağına 4 eklenince: 4264 Soluna 2 eklenince: 2426 Fark: $4264 - 2426 = 1838$. Soru metnindeki denklem: $9A - 1996 = 1838 \implies 9A = 3834 \implies A = 426$. $A = 426$ sayısının rakamları toplamı: $4 + 2 + 6 = 12$ olur. Doğru cevap B seçeneğidir.

$A + B = 11$ $B + C = 15$ İkinci denklemden birinci denklem çıkarılırsa: $(B + C) - (A + B) = 15 - 11 \implies C - A = 4 \implies C = A + 4$ Verilen $A \cdot C = 24$ denkleminde $C$ yerine $A + 4$ yazalım: $A(A + 4) = 24$ Buradan $A = 2$ pozitif değeri bulunur (çünkü $A, B, C$ birer rakamdır). $A = 2$ ise $C = 2 + 4 = 6$ olur. $A + B = 11 \implies 2 + B = 11 \implies B = 9$ olur. $B = 9$ bir rakamdır ve $B + C = 9 + 6 = 15$ eşitliğini sağlar. Buna göre, $A + B + C = 2 + 9 + 6 = 17$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

İki gerçel sayının kareleri toplamı sıfır ise, her iki ifade de ayrı ayrı sıfıra eşit olmalıdır: 1) $2x - y - 7 = 0 \implies 2x - y = 7$ 2) $x + 2y - 1 = 0 \implies x + 2y = 1$ Birinci denklemi 2 ile çarpıp ikinci denklemle toplayalım: $2(2x - y) + (x + 2y) = 2(7) + 1$ $4x - 2y + x + 2y = 14 + 1$ $5x = 15 \implies x = 3$ $x = 3$ değerini birinci denklemde yerine yazalım: $2(3) - y = 7 \implies 6 - y = 7 \implies y = -1$ Buradan çarpım: $x \cdot y = 3 \cdot (-1) = -3$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

$a! = 42 \cdot b!$ 42 sayısı ardışık iki sayının çarpımı olarak yazılabilir: $42 = 7 \times 6$. Eşitlikte yerine yazarsak: $a! = 7 \times 6 \times b!$ Burada $b = 5$ seçilirse: $a! = 7 \times 6 \times 5! = 7! \implies a = 7$ olur. Bu durumda $a + b = 7 + 5 = 12$ elde edilir. (Not: Eğer $b = 41$ seçilseydi $a! = 42 \times 41! = 42! \implies a = 42$ olurdu ve $a + b = 42 + 41 = 83$ çıkardı ki bu en büyük değeridir.) Dolayısıyla $a + b$'nin en küçük değeri 12'dir. Doğru cevap B seçeneğidir.

İfadeyi en küçük faktöriyel olan $4!$ parantezine alalım: $A = 4!(1 + 5 + 5 \times 6)$ $A = 4!(1 + 5 + 30)$ $A = 4! \times 36$ $4! = 24 = 2^3 \times 3$ $36 = 2^2 \times 3^2$ Buradan $A$ sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi: $A = (2^3 \times 3) \times (2^2 \times 3^2) = 2^5 \times 3^3$ olur. $A$ sayısının asal bölenleri yalnızca 2 ve 3'tür. Dolayısıyla en büyük asal böleni 3'tür. Doğru cevap A seçeneğidir.