KPSS KPSS Lisans (Genel Yetenek & Genel Kültür) Bölme & Bölünebilme Testi #1

Bölme bağıntısına göre: $B = 7 \times 3 + 5 = 21 + 5 = 26$ $A = 4 \times B + 6$ olduğundan: $A = 4 \times 26 + 6 = 104 + 6 = 110$ 110 sayısının 14 ile bölümünden kalan: $110 = 14 \times 7 + 12$ olduğundan kalan 12'dir. Doğru cevap E seçeneğidir.

Bölme kuralına göre kalan, bölen sayıdan küçük olmalıdır: $x^2 < 28$ $x$ pozitif tam sayı olduğundan $x$'in alabileceği en büyük tam sayı değeri 5'tir ($5^2 = 25 < 28$). Bölme bağıntısında yerine yazılırsa: $A = 28 \times x + x^2$ $A = 28 \times 5 + 5^2 = 140 + 25 = 165$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

15 ile tam bölünen bir sayı hem 3'e hem de 5'e tam bölünür. 5 ile tam bölünebilmesi için son basamağı $b = 0$ veya $b = 5$ olmalıdır. 4 ile bölümünden kalanın 2 olması için son iki basamağın ($7b$) 4 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır: - $b = 0$ için 70 sayısı $4 \times 17 + 2$ olduğundan kalan 2'dir (sağlar). - $b = 5$ için 75 sayısı $4 \times 18 + 3$ olduğundan kalan 3'tür (sağlamaz). Dolayısıyla $b = 0$ olmalıdır. Sayımız $4a70$ olur. 3 ile tam bölünebilmesi için rakamlar toplamı 3'ün katı olmalıdır: $4 + a + 7 + 0 = 11 + a$ $11 + a$ sayısının 3'ün katı olması için $a \in \{1, 4, 7\}$ olmalıdır. $a$'nın alabileceği değerler toplamı: $1 + 4 + 7 = 12$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

36 ile bölümünden kalan 11 ise: - 4 ile bölümünden kalan: $11 = 4 \times 2 + 3 \implies 3$'tür. - 9 ile bölümünden kalan: $11 = 9 \times 1 + 2 \implies 2$'dir. Son iki basamağın ($3b$) 4 ile bölümünden kalan 3 olmalıdır: $b \in \{1, 5, 9\}$. Rakamları farklı dendiği için yüzler basamağındaki 5'ten dolayı $b \neq 5$ olur. O halde $b = 1$ veya $b = 9$'dur. 1) $b = 1$ için sayı $2a531$ olur. Rakamlar toplamı: $2 + a + 5 + 3 + 1 = a + 11$. $a + 11$'in 9 ile bölümünden kalan 2 olmalı: $a + 2 \equiv 2 \pmod 9 \implies a = 0$ veya $a = 9$. $a = 0$ için $20531$ (rakamlar farklı, sağlar). $a = 9$ için $29531$ (rakamlar farklı, sağlar). 2) $b = 9$ için sayı $2a539$ olur. Rakamlar toplamı: $2 + a + 5 + 3 + 9 = a + 19$. $a + 19$'un 9 ile bölümünden kalan 2 olmalı: $a + 1 \equiv 2 \pmod 9 \implies a = 1$. $a = 1$ için $21539$ (rakamlar farklı, sağlar). $a$'nın alabileceği değerler: 0, 1 ve 9'dur. Toplamları: $0 + 1 + 9 = 10$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

18 sayısı 9'un tam katı olduğundan, bir sayının 18 ile bölümünden kalan 7 ise bu sayının 9 ile bölümünden kalan da 7'dir: $x \equiv 7 \pmod 9$ Verilen ifadede $x$ yerine 7 yazarak kalan aritmetiğini uygulayalım: $2(7^2) + 3(7) + 5 = 2(49) + 21 + 5 = 98 + 26 = 124$ 124 sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulmak için rakamlarını toplayalım: $1 + 2 + 4 = 7$ olarak bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

5 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre $b = 3$ veya $b = 8$'dir. 11 ile bölünebilme kuralına göre basamaklar sağdan sola $+ - + - +$ işaretlenir: $(b + 7 + 5) - (4 + a) = (b + 12) - (a + 4) = b - a + 8$ 1) $b = 3$ için: $3 - a + 8 = 11 - a$ $11 - a$'nın 11'in katı olması için bir rakam olan $a = 0$ olmalıdır. 2) $b = 8$ için: $8 - a + 8 = 16 - a$ $16 - a$'nın 11'in katı olması için bir rakam olan $a = 5$ olmalıdır. $a$'nın alabileceği değerler 0 ve 5 olup toplamları: $0 + 5 = 5$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

45 ile bölümünden kalan 26 olduğuna göre: - 5 ile bölümünden kalan: $26 = 5 \times 5 + 1 \implies 1$'dir. - 9 ile bölümünden kalan: $26 = 9 \times 2 + 8 \implies 8$'dir. 5 ile bölümünden kalan 1 olduğundan $b = 1$ veya $b = 6$'dır. 1) $b = 1$ için sayı $7a41$ olur. Rakamlar toplamı: $7 + a + 4 + 1 = a + 12$ $a + 12 \equiv 8 \pmod 9 \implies a + 3 \equiv 8 \implies a = 5$ 2) $b = 6$ için sayı $7a46$ olur. Rakamlar toplamı: $7 + a + 4 + 6 = a + 17$ $a + 17 \equiv 8 \pmod 9 \implies a + 8 \equiv 8 \implies a = 0$ veya $a = 9$ $a$'nın alabileceği farklı değerler: 5, 0 ve 9'dur. Toplamları: $5 + 0 + 9 = 14$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

Verilen eşitliği basamak çözümlemesiyle yazalım: $10A + B = 7(A + B)$ $10A + B = 7A + 7B \implies 3A = 6B \implies A = 2B$ İki basamaklı $BA$ sayısı: $10B + A = 10B + 2B = 12B$ olur. $BA$ sayısının rakamları toplamı: $B + A = B + 2B = 3B$ olur. $BA$ sayısını rakamları toplamına bölelim: $\frac{12B}{3B} = 4$ Bölüm 4, kalan 0'dır. Bölüm ile kalanın toplamı: $4 + 0 = 4$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

$3ab = 300 + ab$ olarak yazılabilir. 300 sayısı 12'ye tam bölündüğünden ($300 = 12 \times 25$), $3ab$'nin 12 ile tam bölünmesi için iki basamaklı $ab$ sayısının da 12'nin katı olması gerekir. İki basamaklı 12'nin katları: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 Bu sayılardan onlar basamağının birler basamağından büyük olduğu ($a > b$) durumları seçelim: - 60 ($6 > 0$) $\implies 360$ - 72 ($7 > 2$) $\implies 372$ - 84 ($8 > 4$) $\implies 384$ - 96 ($9 > 6$) $\implies 396$ Koşulu sağlayan 4 farklı sayı yazılabilir. Doğru cevap B seçeneğidir.

$12^a = (2^2 \cdot 3)^a = 2^{2a} \cdot 3^a$ olarak çarpanlarına ayrılır. $40!$ içindeki 3 asal çarpanının sayısını bulalım: $40 / 3 = 13$ $13 / 3 = 4$ $4 / 3 = 1$ Toplam 3 çarpanı sayısı: $13 + 4 + 1 = 18$'dir. Buradan $a \le 18$ olmalıdır. $40!$ içindeki 2 asal çarpanının sayısını bulalım: $40 / 2 = 20$ $20 / 2 = 10$ $10 / 2 = 5$ $5 / 2 = 2$ $2 / 2 = 1$ Toplam 2 çarpanı sayısı: $20 + 10 + 5 + 2 + 1 = 38$'dir. $2a \le 38 \implies a \le 19$ olur. 12 çarpanı için ortak sınırlayıcı küçük olan sayı olduğundan: $a = \min(18, 19) = 18$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

Verilen toplamların farkı: $B - A = (1 + 2 + \dots + n + (n + 1) + (n + 2)) - (1 + 2 + \dots + n)$ $B - A = (n + 1) + (n + 2) = 2n + 3$ $2n + 3$ sayısı 15'in tam katı olmalıdır: $2n + 3 = 15k$ $2n + 3$ tek sayı olduğundan $k$ tek tam sayı olmalıdır: - $k = 1$ için: $2n + 3 = 15 \implies 2n = 12 \implies n = 6$ (bir basamaklıdır) - $k = 3$ için: $2n + 3 = 45 \implies 2n = 42 \implies n = 21$ (iki basamaklıdır) Dolayısıyla iki basamaklı en küçük $n$ değeri 21'dir. Doğru cevap C seçeneğidir.

Rakamlar kümesi: $\{7, 1, 4, a, b\}$ ve tüm rakamlar birbirinden farklıdır. 9 ile bölünebilme kuralı: $7 + 1 + a + 4 + b = a + b + 12$ toplamı 9'un katı olmalıdır. Buradan $a + b = 6$ veya $a + b = 15$ olabilir. 8 ile bölünebilme kuralına göre son üç basamak $a4b$ 8'in katı olmalıdır: $a4b = 100a + 40 + b = 8(12a + 5) + 4a + b \implies 4a + b$ ifadesi 8'in katı olmalıdır. 1) $a + b = 6$ durumu: $4a + b = 3a + (a + b) = 3a + 6$ $3a + 6$ ifadesinin 8'in katı olması için bir rakam olan $a = 6$ olmalıdır. $a = 6$ ise $b = 6 - 6 = 0$ olur. Sayı $71640$ olur. Rakamlar kümesi $\{7, 1, 6, 4, 0\}$ hepsi birbirinden farklıdır ve $640 / 8 = 80$ olup tüm şartları sağlar. 2) $a + b = 15$ durumu: $4a + b = 3a + 15$ ifadesinin 8'in katı olması için $3a \equiv 1 \pmod 8 \implies a = 3$ olmalıdır. Ancak $a = 3$ ise $b = 12$ çıkar ve rakam olamaz. Dolayısıyla $a = 6$ olarak bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Bölme bağıntısı: $A = 5B + 14$ Bölme işleminde temel kural gereği kalan daima bölen sayıdan küçük olmalıdır: $14 < B$ $B$ bir pozitif tam sayı olduğundan alabileceği en küçük değer $B = 15$'tir. $B = 15$ için $A$ sayısı: $A = 5 \times 15 + 14 = 75 + 14 = 89$ olur. $A + B$ toplamının en küçük değeri: $89 + 15 = 104$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Kalan aritmetiği kurallarına göre $x \equiv 4$ ve $y \equiv 5 \pmod 6$ yazılır. İfadeyi mod 6'da hesaplayalım: $3(4^2) + 2(4)(5) + 5^2 \pmod 6$ $= 3(16) + 40 + 25$ $= 48 + 40 + 25 = 113$ 113 sayısının 6 ile bölümünden kalan: $113 = 6 \times 18 + 5$ olduğundan kalan 5'tir. Doğru cevap E seçeneğidir.

30 ile bölümünden kalan 17 ise: - 10 ile bölümünden kalan: $17 = 10 \times 1 + 7 \implies 7$'dir. - 3 ile bölümünden kalan: $17 = 3 \times 5 + 2 \implies 2$'dir. Sayının 10 ile bölümünden kalan 7 olduğundan birler basamağı $b = 7$'dir. Sayı $4a827$ olur. 3 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır. Rakamlar toplamını inceleyelim: $4 + a + 8 + 2 + 7 = a + 21$ 21 sayısı 3'ün tam katı olduğundan, toplamın 3 ile bölümünden 2 kalanını vermesi için $a$'nın 3 ile bölümünden kalanın 2 olması gerekir: $a \in \{2, 5, 8\}$ $a$'nın alabileceği değerler toplamı: $2 + 5 + 8 = 15$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1) $bca$ sayısı 5 ile tam bölündüğünden son basamağı $a = 0$ veya $a = 5$ olmalıdır. Sıfırdan farklı dendiği için $a = 5$'tir. 2) $cab$ sayısı 4 ile tam bölündüğünden son iki basamağı olan $ab = 5b$ sayısı 4'ün katı olmalıdır. $5b$ iki basamaklı sayısının 4'ün katı olması için $b = 2$ veya $b = 6$ olmalıdır. 3) $abc$ sayısı 9 ile tam bölündüğünden $a + b + c = 5 + b + c$ toplamı 9'un katı olmalıdır: - $b = 2$ ise $5 + 2 + c = 7 + c$ toplamının 9'un katı olması için $c = 2$ olmalıdır. Ancak rakamlar birbirinden farklı olacağından ($b = c = 2$) bu durum elenir. - $b = 6$ ise $5 + 6 + c = 11 + c$ toplamının 9'un katı olması için $c = 7$ olmalıdır. Bu durumda $a = 5, b = 6, c = 7$ rakamları hem sıfırdan hem de birbirinden farklıdır. Dolayısıyla $c$ rakamı 7'dir. Doğru cevap D seçeneğidir.

24 ile tam bölünen bir sayı aralarında asal olan 3 ve 8 sayılarına tam bölünmelidir. 1) 8 ile bölünebilme: Son üç basamak olan $ab2$ sayısı 8'in katı olmalıdır. 2) 3 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı $5 + a + b + 2 = a + b + 7$ sayısı 3'ün katı olmalıdır. Buradan $a + b \equiv 2 \pmod 3$ elde edilir. $a + b$'nin en büyük değeri için olası en büyük toplamları test edelim: - $a + b = 17$ olsaydı: Rakamlar toplamı 17 olan ikililer $(9, 8)$ ve $(8, 9)$'dur. $a = 9, b = 8 \implies 982 / 8 = 122{,}75$ (bölünmez). $a = 8, b = 9 \implies 892 / 8 = 111{,}5$ (bölünmez). - $a + b = 14$ durumu: $a = 9$ seçilirse $b = 5$ olur. Sayı $5952$ olur. Son üç basamak: $952 / 8 = 119$ (8 ile tam bölünür). Rakamlar toplamı: $5 + 9 + 5 + 2 = 21$ (3 ile tam bölünür). Dolayısıyla $a + b$ toplamı en çok 14 olabilir. Doğru cevap B seçeneğidir.

Verilen bölme kalan bağıntılarını kuralım: $A = 4x + 1 = 6y + 3 = 9z + 6$ Eşitliklerin her tarafına 3 ekleyelim: $A + 3 = 4x + 4 = 6y + 6 = 9z + 9$ $A + 3 = 4(x + 1) = 6(y + 1) = 9(z + 1)$ Bu durumda $A + 3$ sayısı 4, 6 ve 9'un ortak katıdır: $\text{EKOK}(4, 6, 9) = 36$ $A + 3 = 36k \implies A = 36k - 3$ $A$'nın üç basamaklı en küçük sayı olması için $k = 3$ seçilir: $A = 36 \times 3 - 3 = 108 - 3 = 105$ 105 sayısının rakamları toplamı: $1 + 0 + 5 = 6$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

11 ile bölünebilme kuralı için basamaklara sağdan sola $+ - + - + -$ işaretleri verilir: $(5 + 2 + x) - (y + 3 + 4) = (x + 7) - (y + 7) = x - y$ Sayının 11 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre: $x - y \equiv 4 \pmod{11}$ $x$ ve $y$ birer rakam ($0 \le x \le 9$ ve $0 \le y \le 9$) olduğundan $x - y$ farkı $-9$ ile $9$ aralığında değerler alabilir: $-9 \le x - y \le 9$ Bu aralıkta $11k + 4$ koşulunu sağlayan değerler: - $k = 0 \implies x - y = 4$ - $k = -1 \implies x - y = -7$ Alabileceği değerler toplamı: $4 + (-7) = -3$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

18 ile bölümünden kalan 7 ise: - 2 ile bölümünden kalan: $7 = 2 \times 3 + 1 \implies 1$'dir (sayı tek sayıdır, dolayısıyla $b \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$). - 9 ile bölümünden kalan: $7 \pmod 9 = 7$'dir. Rakamlar toplamı: $2 + a + 3 + b = a + b + 5$ $a + b + 5 \equiv 7 \pmod 9 \implies a + b \equiv 2 \pmod 9$ $a$ ve $b$ rakam olduğundan $a + b = 2$ veya $a + b = 11$ olabilir: 1) $a + b = 2$ için: $b$ tek rakam olduğundan $b = 1 \implies a = 1$ olur. 2) $a + b = 11$ için $b$ tek rakamlarını deneyelim: - $b = 3 \implies a = 8$ - $b = 5 \implies a = 6$ - $b = 7 \implies a = 4$ - $b = 9 \implies a = 2$ $a$'nın alabileceği farklı değerler: 1, 2, 4, 6 ve 8'dir. Toplamları: $1 + 2 + 4 + 6 + 8 = 21$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.