KPSS KPSS Ön Lisans Fonksiyonlar & Polinomlar Testi #1

1. Adım: Bileşke fonksiyon kuralına göre $(f \circ g)(2) = f(g(2))$ şeklinde yazılır. 2. Adım: Öncelikle en içteki $g(2)$ değerini bulmalıyız. $g(x)$ fonksiyonunda $x$ yerine $2$ yazalım: $g(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$. 3. Adım: Bulduğumuz bu değeri dıştaki $f$ fonksiyonunda yerine koyalım. Artık $f(5)$ değerini hesaplayacağız. 4. Adım: $f(x)$ fonksiyonunda $x$ yerine $5$ yazalım: $f(5) = 2 \cdot 5 - 3 = 10 - 3 = 7$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: Bir fonksiyonun tersinin belirli bir noktadaki değerini bulmak için fonksiyonun kuralının tersini bulmaya gerek yoktur. $f^{-1}(4) = a$ dersek, $f(a) = 4$ olur. 2. Adım: Fonksiyonun sonucunu $4$'e eşitleyelim: $\frac{3x-1}{x+2} = 4$. 3. Adım: İçler dışlar çarpımı yapalım: $3x - 1 = 4 \cdot (x + 2)$. 4. Adım: İfadeyi dağıtalım: $3x - 1 = 4x + 8$. 5. Adım: Bilinmeyenleri bir tarafa toplayalım: $-1 - 8 = 4x - 3x$. 6. Adım: $x = -9$ olarak bulunur. Demek ki $f(-9) = 4$, dolayısıyla $f^{-1}(4) = -9$'dur. Sonuç: A şıkkı.

1. Adım: İstenilen $f(4)$ değerine ulaşmak için $x$ yerine sırasıyla tam sayılar vererek ardışık terimleri bulalım. 2. Adım: Denklemde $x = 1$ yazalım: $f(2) = f(1) + 1$. Soruda $f(1) = 4$ verildiği için $f(2) = 4 + 1 = 5$ olur. 3. Adım: Denklemde $x = 2$ yazalım: $f(3) = f(2) + 2$. Bulduğumuz değeri yerine koyalım: $f(3) = 5 + 2 = 7$ olur. 4. Adım: Denklemde $x = 3$ yazalım: $f(4) = f(3) + 3$. Bulduğumuz değeri yerine koyalım: $f(4) = 7 + 3 = 10$ olarak bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Bileşke fonksiyon ifadesini açalım: $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 4x - 1$. 2. Adım: $g(x)$ fonksiyonunun kuralını yerine yazalım: $f(2x + 3) = 4x - 1$. 3. Adım: $f(x)$ fonksiyonunu bulmak için parantezin içindeki ifadenin tersini alıp eşitliğin sağ tarafındaki $x$ yerine yazmalıyız. $2x + 3$'ün tersi $\frac{x - 3}{2}$'dir. 4. Adım: Sağ tarafta $x$ gördüğümüz yere $\frac{x - 3}{2}$ yazalım: $f(x) = 4 \cdot \left(\frac{x - 3}{2}\right) - 1$. 5. Adım: Çarpma işlemini yapalım: $f(x) = 2 \cdot (x - 3) - 1$. 6. Adım: Parantezi dağıtalım: $f(x) = 2x - 6 - 1 = 2x - 7$ olarak bulunur. Sonuç: A şıkkı.

1. Adım: Kalan bulma teoremine göre, bir $P(x)$ polinomunun $(x - c)$ ile bölümünden kalanı bulmak için $x - c = 0$ denkleminin kökü olan $x = c$ değeri polinomda yerine yazılır. 2. Adım: Sorumuzda bölen ifade $(x - 2)$'dir. $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$. 3. Adım: Polinomda $x$ yerine $2$ yazdığımızda sonucun kalana yani $10$'a eşit olması gerekir. $P(2) = 10$. 4. Adım: Polinom kuralında $x=2$ yazalım: $P(2) = 2^3 - 2(2^2) + a(2) + 4 = 10$. 5. Adım: İşlemleri yapalım: $8 - 2(4) + 2a + 4 = 10 \Rightarrow 8 - 8 + 2a + 4 = 10$. 6. Adım: $2a + 4 = 10 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3$ olarak bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için polinomda $x$ yerine $1$ yazılır. $P(1)$ değerini hesaplayalım. 2. Adım: $P(1) = (2 \cdot 1 - 1)^3 + (1 + 2)^2 - 4 \cdot 1 = 1^3 + 3^2 - 4 = 1 + 9 - 4 = 6$ (Katsayılar toplamı). 3. Adım: Bir polinomun sabit terimini bulmak için polinomda $x$ yerine $0$ yazılır. $P(0)$ değerini hesaplayalım. 4. Adım: $P(0) = (2 \cdot 0 - 1)^3 + (0 + 2)^2 - 4 \cdot 0 = (-1)^3 + 2^2 - 0 = -1 + 4 = 3$ (Sabit terim). 5. Adım: Katsayılar toplamı ile sabit terimin toplamı: $6 + 3 = 9$ olarak bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Bileşke işlemi içten dışa doğru çözülür. Öncelikle içteki $f(1)$ değerini bulmalıyız. 2. Adım: $x = 1$ değeri $2$'den küçük olduğu için ($1 < 2$), birinci kuralı ($f(x) = 2x + 1$) kullanmalıyız. 3. Adım: $f(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3$ olarak bulunur. 4. Adım: Şimdi dıştaki $f$ fonksiyonunu hesaplayacağız. İçerisini 3 bulduğumuz için bizden istenen değer $f(3)$ olmuştur. 5. Adım: $x = 3$ değeri $2$'den büyük olduğu için ($3 \geq 2$), ikinci kuralı ($f(x) = x^2 - 3$) kullanmalıyız. 6. Adım: $f(3) = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$ olarak bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Bir fonksiyon çift fonksiyon ise her $x$ gerçel sayısı için $f(-x) = f(x)$ özelliği geçerlidir. Bu özelliği denklemde kullanalım. 2. Adım: Denklemdeki $f(-x)$ yerine $f(x)$ yazalım: $3f(x) - f(x) = 2x^2 + 8$. 3. Adım: Sol taraftaki çıkarma işlemini yapalım: $2f(x) = 2x^2 + 8$. 4. Adım: Her iki tarafı 2'ye bölerek $f(x)$ fonksiyonunun kuralını bulalım: $f(x) = x^2 + 4$. 5. Adım: Bizden istenen $f(-2)$ değeridir. Bulduğumuz fonksiyonda $x$ yerine $-2$ yazalım. 6. Adım: $f(-2) = (-2)^2 + 4 = 4 + 4 = 8$ olarak bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Polinom kalan teoremine göre, $P(x)$'in $(x - 1)$ ile bölümünden kalan $P(1) = 4$'tür. 2. Adım: $P(x)$'in $(x - 2)$ ile bölümünden kalan $P(2) = 7$'dir. 3. Adım: $P(x)$ polinomu 2. dereceden bir polinom olan $(x - 1)(x - 2)$'ye bölündüğünde kalan, bölenin derecesinden daha küçük olmalıdır. Yani kalan ifade en fazla 1. dereceden bir polinomdur. Kalana $R(x) = mx + n$ diyelim. 4. Adım: Bölme işlemine göre; $P(x) = (x - 1)(x - 2) \cdot B(x) + (mx + n)$ yazılabilir. 5. Adım: $x = 1$ için $P(1) = m \cdot 1 + n = 4 \Rightarrow m + n = 4$ olur. 6. Adım: $x = 2$ için $P(2) = m \cdot 2 + n = 7 \Rightarrow 2m + n = 7$ olur. 7. Adım: Elde ettiğimiz bu iki denklemi taraf tarafa çıkaralım. İkinci denklemden birinciyi çıkarırsak: $(2m + n) - (m + n) = 7 - 4 \Rightarrow m = 3$ bulunur. 8. Adım: $m = 3$ değerini ilk denklemde yerine koyalım: $3 + n = 4 \Rightarrow n = 1$ bulunur. 9. Adım: Kalan ifade $R(x) = mx + n$ idi. Yerine yazarsak $3x + 1$ elde edilir. Sonuç: A şıkkı.

1. Adım: Fonksiyonlarda dört işlem kuralına göre, $(2f - g)(3) = 2 \cdot f(3) - g(3)$ şeklinde yazılabilir. 2. Adım: $f(3)$ değerini bulalım: $f(3) = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$. 3. Adım: $g(3)$ değerini bulalım: $g(3) = 3 \cdot 3 + 2 = 9 + 2 = 11$. 4. Adım: Bulduğumuz değerleri işlemde yerine koyalım: $2 \cdot 6 - 11$. 5. Adım: Çarpma ve çıkarma işlemlerini yapalım: $12 - 11 = 1$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: Polinomların dereceleri verildiğinde, en yüksek dereceli terimlerini temsilci olarak kullanabiliriz. $P(x)$ için temsilci $x^3$, $Q(x)$ için temsilci $x^2$ olsun. 2. Adım: Çarpımın sol tarafındaki $P(x^2)$ ifadesinin temsilcisini bulalım: $P(x)$'in derecesi 3 ise, $x$ yerine $x^2$ yazıldığında derece $3 \cdot 2 = 6$ olur. Temsilci $(x^2)^3 = x^6$'dır. 3. Adım: Çarpımın sağ tarafındaki $Q^3(x)$ ifadesinin temsilcisini bulalım: $Q(x)$'in derecesi 2 ise, $Q(x)$'in küpü alındığında derece $2 \cdot 3 = 6$ olur. Temsilci $(x^2)^3 = x^6$'dır. 4. Adım: İstenen $P(x^2) \cdot Q^3(x)$ çarpım işlemini temsilciler üzerinden yapalım: $x^6 \cdot x^6$. 5. Adım: Üslü sayılarda çarpma işleminde tabanlar aynı iken üsler toplanır: $x^{6 + 6} = x^{12}$. 6. Adım: Elde edilen ifadenin üssü 12 olduğundan, çarpım polinomunun derecesi 12'dir. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Bir $x$ değeri bir polinomun kökü ise, o polinomda $x$ yerine o değer yazıldığında sonuç $0$ çıkar. Soruda polinomun bir kökünün 5 olduğu söyleniyor. Bu durumda $P(5) = 0$'dır. 2. Adım: Denklemde $x$ yerine 5 yazıp 0'a eşitleyerek bilinmeyen $c$ değerini bulalım. 3. Adım: $P(5) = 5^2 - 4(5) + c = 0 \Rightarrow 25 - 20 + c = 0 \Rightarrow 5 + c = 0$. 4. Adım: Buradan $c = -5$ olarak bulunur. 5. Adım: Polinomu tam ve eksiksiz bir şekilde yeniden yazalım: $P(x) = x^2 - 4x - 5$. 6. Adım: Bizden istenen $P(-1)$ değerini hesaplayalım. Denklemde $x$ yerine $-1$ yazalım. 7. Adım: $P(-1) = (-1)^2 - 4(-1) - 5 = 1 + 4 - 5 = 5 - 5 = 0$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Kareköklü ifadenin tanımlı olabilmesi için kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir: $x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$. 2. Adım: Rasyonel ifadenin tanımlı olabilmesi için paydanın sıfır olmaması gerekir: $x - 7 \neq 0 \Rightarrow x \neq 7$. 3. Adım: $[0, 8]$ kapalı aralığında birinci şartı ($x \geq 3$) sağlayan tam sayılar 3, 4, 5, 6, 7, 8'dir. 4. Adım: İkinci şarta göre paydayı tanımsız yapan 7 sayısını bu listeden çıkarmamız gerekir. 5. Adım: Her iki şartı da sağlayan tanım kümesi içindeki tam sayılar şunlardır: 3, 4, 5, 6, 8. 6. Adım: Bu tam sayıların toplamı: $3 + 4 + 5 + 6 + 8 = 26$ olarak bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Eşitliğin sağ tarafındaki bilinmeyen $a$'yı bulmak için denklemde $x=2$ yazalım. Böylece eşitliğin sol tarafı sıfır olur: $0 = 2^3 - a \cdot 2^2 + 4$. 2. Adım: İşlemi yapalım: $0 = 8 - 4a + 4 \Rightarrow 4a = 12 \Rightarrow a = 3$ bulunur. 3. Adım: Bulunan $a$ değerini denklemde yerine yazalım: $(x-2) \cdot P(x) = x^3 - 3x^2 + 4$. 4. Adım: $P(x)$ polinomunu bulmak için eşitliğin sağ tarafını çarpanlarına ayırıp $(x-2)$'ye bölmeliyiz. $x^3 - 3x^2 + 4$ ifadesinin $(x-2)$ ile bölümü polinom bölmesi ile veya çarpanlara ayırma ile bulunabilir. Bu ifade $(x-2) \cdot (x^2 - x - 2)$ eşitiğidir. 5. Adım: Her iki tarafı $(x-2)$'ye bölersek $P(x) = x^2 - x - 2$ elde edilir. 6. Adım: Bizden istenen $P(2)$ değeridir. Artık bulduğumuz kuralda yerine yazabiliriz: $P(2) = 2^2 - 2 - 2 = 4 - 4 = 0$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: Rasyonel şekilde verilen bir fonksiyonun sabit fonksiyon olabilmesi için payındaki ve paydasındaki aynı dereceli terimlerin katsayıları oranının birbirine eşit olması gerekir. 2. Adım: $x$'li terimlerin katsayıları oranı = Sabit terimlerin oranı şeklinde yazalım: $\frac{a}{2} = \frac{6}{-3}$. 3. Adım: Eşitliği çözelim: $\frac{a}{2} = -2 \Rightarrow a = -4$ olarak bulunur. 4. Adım: $f(x)$ bir sabit fonksiyon olduğuna göre, sonucu $x$'e bağlı değildir ve daima bulunan katsayı oranına (yani -2'ye) eşittir. Eşitlikte de yazarsak $f(x) = \frac{-4x+6}{2x-3} = \frac{-2(2x-3)}{2x-3} = -2$ olduğu görülür. 5. Adım: Sonuç her $x$ için $-2$ olduğuna göre $f(a)$ yani $f(-4)$ değeri de $-2$'dir. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Bizden $f(7)$ değeri istendiğine göre, $f$ fonksiyonunun içindeki ifadeyi $7$'ye eşitleyerek $x$ değerini veya $3^x$ değerini bulmalıyız. 2. Adım: Fonksiyonun içini 7'ye eşitleyelim: $3^x - 2 = 7$. 3. Adım: Denklemden $3^x$'i yalnız bırakalım: $3^x = 9$. 4. Adım: $3^x = 9$ ise, buradan $x = 2$ olduğu görülür. İstersek doğrudan $3^x = 9$ bilgisini de eşitliğin sağında kullanabiliriz. 5. Adım: Eşitliğin sağ tarafı $9^x + 3^x + 1$ şeklindedir. $9^x$ ifadesi $(3^x)^2$'dir. 6. Adım: İfadede $x = 2$ (veya $3^x = 9$) değerini yerine yazalım: $(9)^2 + 9 + 1 = 81 + 9 + 1 = 91$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Hangi polinomun bölündüğü ve neye bölündüğü bilgisinden yola çıkalım. $P(x-1)$ polinomunun $(x-4)$ ile bölümünden kalan soruluyor. 2. Adım: Kalan teoremine göre, böleni sıfıra eşitleyen kök bulunur. $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$. 3. Adım: Bulunan bu $x=4$ değeri, bölünen polinom olan $P(x-1)$ ifadesinde yerine yazılır. $P(4 - 1) = P(3)$. Yani aslında bizden $P(3)$ değeri istenmektedir. 4. Adım: Verilen ana eşitlikte $P(3)$'ü bulmak için $P(x+2)$'nin içini 3 yapmalıyız. 5. Adım: $x + 2 = 3 \Rightarrow x = 1$ olmalıdır. 6. Adım: Eşitliğin sağ tarafındaki $x^2 - 3x + 5$ kuralında $x = 1$ yazalım. 7. Adım: $1^2 - 3(1) + 5 = 1 - 3 + 5 = 3$ olarak bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Birim fonksiyon, içi dışına eşit olan fonksiyondur. Yani her $x$ için $f(x) = x$'tir. Dolayısıyla $f(3x - 5)$ ifadesinin sonucu da aynen $3x - 5$ olmalıdır. 2. Adım: Verilen eşitlikte bu durumu yerine yazalım: $3x - 5 = (a - 2)x + b + 1$. 3. Adım: İki polinom (veya doğrusal ifade) birbirine özdeş ise, aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır. 4. Adım: $x$'li terimlerin katsayılarını eşitleyelim: $a - 2 = 3 \Rightarrow a = 5$ bulunur. 5. Adım: Sabit terimleri eşitleyelim: $b + 1 = -5 \Rightarrow b = -6$ bulunur. 6. Adım: Bizden istenen $a \cdot b$ çarpımıdır: $5 \cdot (-6) = -30$ olarak hesaplanır. Sonuç: A şıkkı.

1. Adım: Bir polinom başka bir polinoma tam (kalansız) bölünüyorsa, bölen polinomun çarpanlarına (veya köklerine) da tam bölünür. Bölen polinomu çarpanlarına ayıralım: $x^2 - x = x(x - 1)$. 2. Adım: Bölenin çarpanlarının kökleri $x = 0$ ve $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$'dir. 3. Adım: Bu iki kök $P(x)$ polinomunu sıfırlamalıdır. Yani $P(0) = 0$ ve $P(1) = 0$ olmalıdır. 4. Adım: $x = 0$ değerini polinomda yerine yazalım: $P(0) = 0^3 + 2(0^2) + a(0) + b = 0 \Rightarrow b = 0$ bulunur. 5. Adım: $x = 1$ değerini polinomda yerine yazalım: $P(1) = 1^3 + 2(1^2) + a(1) + b = 0$. $b$'nin $0$ olduğunu biliyoruz. Denklemi düzenleyelim: $1 + 2 + a + 0 = 0$. 6. Adım: $3 + a = 0 \Rightarrow a = -3$ bulunur. 7. Adım: İstenen $a + b$ toplamı: $-3 + 0 = -3$'tür. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: İki fonksiyonun birbirine eşit olduğu noktaları (kesişim noktalarını) bulmak için kurallarını birbirine eşitleyelim. 2. Adım: $x^2 - 2x - 8 = x - 4$. 3. Adım: İkinci dereceden bir denklem çözmek için tüm terimleri eşitsizliğin bir tarafında toplayarak bir tarafı sıfır yapalım. 4. Adım: $x$ ve $-4$ terimlerini sol tarafa atalım: $x^2 - 2x - x - 8 + 4 = 0$. 5. Adım: İfadeyi düzenleyelim: $x^2 - 3x - 4 = 0$. 6. Adım: Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları $-4$, toplamları $-3$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $-4$ ve $+1$'dir. 7. Adım: $(x - 4)(x + 1) = 0$ şekline dönüşür. Buradan denklemin kökleri $x = 4$ ve $x = -1$ olarak bulunur. 8. Adım: Soruda $x$'in pozitif bir sayı olduğu belirtildiği için $-1$ değeri alınamaz. İstenilen değer $x = 4$'tür. Sonuç: D şıkkı.