KPSS KPSS Ön Lisans Rasyonel Sayılar Testi #1

1. Adım: Pay kısmındaki işlemi yapalım: $2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$. 2. Adım: Payda kısmındaki işlemi yapalım: $1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. 3. Adım: Bulduğumuz sonuçları yerine yazarak ana kesir işlemini yapalım: $\frac{\frac{5}{3}}{\frac{3}{2}}$. Birinci kesri aynen yazıp, ikinci kesri ters çevirip çarpalım: $\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{9}$. 4. Adım: Çıkan sonucu $\frac{5}{3}$'e bölelim: $\frac{10}{9} \div \frac{5}{3} = \frac{10}{9} \cdot \frac{3}{5}$. 5. Adım: Çarpma işleminde sadeleştirmeleri yapalım: $\frac{10 \cdot 3}{9 \cdot 5} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: Eşitliğin sol tarafındaki 1 sayısını karşıya atalım: $\frac{2}{1 - \frac{1}{x}} = 5 - 1 \implies \frac{2}{1 - \frac{1}{x}} = 4$. 2. Adım: Payı 2 olan bir kesrin sonucunun 4 çıkması için paydasının $\frac{2}{4}$ yani $\frac{1}{2}$ olması gerekir. Dolayısıyla $1 - \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ olmalıdır. 3. Adım: Bu denklemde bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{x} \implies \frac{1}{2} = \frac{1}{x}$. 4. Adım: İki kesir birbirine eşit ve payları 1 olduğuna göre, paydaları da eşit olmalıdır: $x = 2$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: Kesirlerdeki virgülleri kaydırarak (pay ve paydayı aynı 10'un kuvveti ile çarparak) sayıları virgülden kurtaralım. 2. Adım: $\frac{0,24}{0,08}$ kesrinde pay ve paydayı 100 ile çarparsak: $\frac{24}{8} = 3$ olur. 3. Adım: $\frac{1,5}{0,3}$ kesrinde pay ve paydayı 10 ile çarparsak: $\frac{15}{3} = 5$ olur. 4. Adım: $\frac{0,04}{0,002}$ kesrinde paydayı virgülden kurtarmak için 1000 ile çarpmamız gerekir. Payı da 1000 ile çarparsak: $\frac{40}{2} = 20$ olur. 5. Adım: Bulduğumuz değerleri ana işleme yerleştirelim: $3 + 5 - 20$. 6. Adım: İşlemi tamamlayalım: $8 - 20 = -12$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

1. Adım: Devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirelim. Kural: (Sayının tamamı - Devretmeyen kısım) / (Virgülden sonra devreden kadar 9, devretmeyen kadar 0). 2. Adım: $0,\overline{4} = \frac{4}{9}$, $0,\overline{5} = \frac{5}{9}$ ve $0,\overline{3} = \frac{3}{9}$ olur. 3. Adım: Paydaki toplama işlemini yapalım: $\frac{4}{9} + \frac{5}{9} = \frac{9}{9} = 1$. 4. Adım: Paydadaki sayıyı sadeleştirelim: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. 5. Adım: Ana bölme işlemini yapalım: $\frac{1}{\frac{1}{3}}$. 6. Adım: Birinci sayı aynen kalır, ikinci sayı ters çevrilip çarpılır: $1 \cdot \frac{3}{1} = 3$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Bir rasyonel ifadenin tanımsız olması için paydasının sıfır olması gerekir. 2. Adım: İfadede iki farklı kesir çizgisi (iki farklı payda) vardır. Her ikisini de ayrı ayrı incelemeliyiz. 3. Adım: İlk olarak en alttaki küçük kesrin paydasını inceleyelim: $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Bu $x$ değeri ifadeyi tanımsız yapar. 4. Adım: İkinci olarak ana kesrin paydasını sıfıra eşitleyelim: $4 - \frac{12}{x-2} = 0$. 5. Adım: Denklemi çözelim: $4 = \frac{12}{x-2}$. İçler dışlar çarpımı yaparsak $4(x-2) = 12 \implies x-2 = 3 \implies x = 5$ bulunur. Bu da ifadeyi tanımsız yapan ikinci $x$ değeridir. 6. Adım: İfadeyi tanımsız yapan $x$ değerlerinin toplamı: $2 + 5 = 7$'dir. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Negatif sayıları sıralarken önce sayıları pozitifmiş gibi düşünüp sıralarız, daha sonra bulduğumuz sıralamayı tersine çeviririz. 2. Adım: Sayıların pozitif hallerini inceleyelim: $\frac{11}{13}$, $\frac{15}{17}$ ve $\frac{21}{23}$. Bu kesirlerin her birinde pay ve payda arasındaki fark 2'dir ($13-11=2$, $17-15=2$, $23-21=2$). 3. Adım: Kural: Pay ve paydası arasındaki fark eşit olan 'basit kesirlerde' (payı paydasından küçük olan kesirler), payı büyük olan kesir daha büyüktür. 4. Adım: Buna göre pozitif sıralama şöyle olur: $\frac{11}{13} < \frac{15}{17} < \frac{21}{23}$. 5. Adım: Sayılar gerçekte negatif olduğu için bu eşitsizliğin yönünü değiştirmeliyiz: $-\frac{21}{23} < -\frac{15}{17} < -\frac{11}{13}$. 6. Adım: Harflerle ifade edersek: $z < y < x$ şeklinde sıralanır. Sonuç: E şıkkı.

1. Adım: Sonsuza kadar aynı kural ile tekrar eden (iç içe) rasyonel ifadelerde, işlemin tamamının sonucuna $y$ dersek, tekrar eden kısmın sonucu da $y$ olur. 2. Adım: İşleme bakalım: $4 + \frac{12}{\text{Tekrar Eden Kısım}} = y$. 3. Adım: Tekrar eden kısmın kendisine $y$ dersek denklem şu hale gelir: $4 + \frac{12}{y} = y$. 4. Adım: Denklemi düzenleyelim. Her iki tarafı $y$ ile çarpalım: $4y + 12 = y^2$. 5. Adım: Tüm terimleri bir tarafta toplayarak ikinci dereceden denklem elde edelim: $y^2 - 4y - 12 = 0$. 6. Adım: Denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları $-12$, toplamları $-4$ olan iki sayı $-6$ ve $+2$'dir: $(y - 6)(y + 2) = 0$. 7. Adım: Buradan $y = 6$ veya $y = -2$ çıkar. Verilen işlem pozitif sayıların toplamından oluştuğu için sonuç negatif olamaz. Bu nedenle $y = 6$ alınır. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Parantez içlerindeki çıkarma işlemlerini sırasıyla yapalım. 2. Adım: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ 3. Adım: $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ 4. Adım: $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ 5. Adım: Bu şekilde devam edersek en son parantez $1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$ olur. 6. Adım: Bulunan bu kesirleri yan yana çarpım durumunda yazalım: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{19}{20}$. 7. Adım: Çarpım durumunda çapraz olarak pay ve paydalar birbirini sadeleştirir. 2'ler, 3'ler, 4'ler ve son olarak 19'lar birbirini götürür. 8. Adım: Geriye sadece ilk kesrin payındaki 1 ile son kesrin paydasındaki 20 kalır. Sonuç $\frac{1}{20}$ olarak bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Sorulan ikinci ifadeye $B$ diyelim: $B = \frac{5}{7} + \frac{8}{11} + \frac{9}{13}$. 2. Adım: İki ifadeyi alt alta yazıp, taraf tarafa toplayıp veya çıkararak tam sayılar elde etmeye çalışalım. Paydası aynı olan kesirleri inceleyelim. 3. Adım: $\frac{2}{7}$ ile $\frac{5}{7}$ toplanırsa $\frac{7}{7} = 1$ yapar. 4. Adım: $\frac{3}{11}$ ile $\frac{8}{11}$ toplanırsa $\frac{11}{11} = 1$ yapar. 5. Adım: $\frac{4}{13}$ ile $\frac{9}{13}$ toplanırsa $\frac{13}{13} = 1$ yapar. 6. Adım: Görüldüğü gibi $A$ ile $B$'nin toplamı tam sayılardan oluşmaktadır: $A + B = 1 + 1 + 1 \implies A + B = 3$. 7. Adım: Bizden $B$'nin $A$ türünden eşiti isteniyor. $B$'yi yalnız bırakalım: $B = 3 - A$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: İşlem önceliğine dikkat ederek önce bölme ve çarpma işlemlerini gerçekleştirmeliyiz. 2. Adım: İlk kesri virgülden kurtaralım. Hem payı hem de paydayı 100 ile çarpıyoruz: $\frac{0,12}{0,03} = \frac{12}{3} = 4$. 3. Adım: İkinci kesri virgülden kurtaralım. Payı ve paydayı 100 ile çarpıyoruz (0,2'yi 100 ile çarparsak 20 olur): $\frac{0,04}{0,2} = \frac{4}{20}$. 4. Adım: $\frac{4}{20}$ kesrini sadeleştirirsek $\frac{1}{5}$ elde ederiz. 5. Adım: Ana işleme dönelim ve işlem önceliğini (çarpma) uygulayalım: $4 + \frac{1}{5} \cdot 5$. 6. Adım: Çarpma işlemi yapıldığında $\frac{1}{5} \cdot 5 = 1$ olur. 7. Adım: Son olarak toplama işlemini yapalım: $4 + 1 = 5$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Verilen ondalık ifadeleri çözümleyerek rasyonel sayı formunda yazalım. 2. Adım: Pay kısmı: $0,x = \frac{x}{10}$ ve $0,y = \frac{y}{10}$. Toplamları $\frac{x+y}{10}$ olur. 3. Adım: Payda kısmı: $0,xx = \frac{xx}{100}$. Burada $xx$ iki basamaklı bir sayıdır ve $10x + x = 11x$ olarak çözümlenir. Yani $\frac{11x}{100}$'dür. 4. Adım: Aynı mantıkla $0,yy = \frac{11y}{100}$ olur. Paydanın toplamı: $\frac{11x + 11y}{100} = \frac{11(x+y)}{100}$ olarak bulunur. 5. Adım: Şimdi bölme işlemini gerçekleştirelim: $\frac{\frac{x+y}{10}}{\frac{11(x+y)}{100}}$. 6. Adım: Birinci kesri aynen yazıp, ikinci kesri ters çevirerek çarpalım: $\frac{x+y}{10} \cdot \frac{100}{11(x+y)}$. 7. Adım: $(x+y)$ ifadeleri birbirini götürür. Geriye $\frac{100}{10 \cdot 11}$ kalır. 8. Adım: 100 ile 10 sadeleştirildiğinde payda 10, paydada 11 kalır. Sonuç $\frac{10}{11}$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

1. Adım: Eşitliğin sol tarafındaki devirli ondalık sayıyı rasyonel kesre çevirelim. Kural: (Tüm Sayı - Devretmeyen Kısım) / (Devreden kadar 9, devretmeyen kadar 0). $0,x\overline{y} = \frac{xy - x}{90}$. (Burada $xy$ iki basamaklı sayıdır). 2. Adım: Eşitliğin sağ tarafını, paydası 90 olacak şekilde genişletelim: $\frac{7}{15}$ kesrini 6 ile genişletirsek $\frac{42}{90}$ olur. 3. Adım: Paydalar eşit olduğuna göre paylar da eşit olmalıdır: $xy - x = 42$. 4. Adım: $xy$ iki basamaklı sayısını çözümleyelim: $10x + y - x = 42 \implies 9x + y = 42$. 5. Adım: $x$ ve $y$'nin birer rakam (0'dan 9'a kadar) olduğu bilgisiyle değer verelim. $9x$'in 42'ye yakın olması için $x=4$ seçilmelidir. 6. Adım: $x=4$ için; $9(4) + y = 42 \implies 36 + y = 42 \implies y = 6$ bulunur. 7. Adım: Doğrulamasını yapalım: $0,4\overline{6} = \frac{46-4}{90} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$. Sağlıyor. 8. Adım: $x+y$ toplamı $4+6 = 10$ olarak bulunur. Sonuç: E şıkkı.

1. Adım: İşleme en alttaki payda kısmından başlamalıyız: $2 - \frac{2}{3}$. 2. Adım: Bu çıkarma işlemini yapalım: $\frac{2 \cdot 3 - 2}{3} = \frac{6 - 2}{3} = \frac{4}{3}$. 3. Adım: Şimdi bulduğumuz bu sonucu yerine koyalım. İşlem şu hale gelir: $2 - \frac{2}{\frac{4}{3}}$. 4. Adım: Ortadaki kesir bölme işlemidir. Paydaki 2'yi aynen tutup, paydadaki $\frac{4}{3}$'ü ters çevirip çarpalım: $2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4}$. 5. Adım: $\frac{6}{4}$ kesrini sadeleştirelim: $\frac{3}{2}$. 6. Adım: Ana işlemde yerine koyalım: $2 - \frac{3}{2}$. 7. Adım: Çıkarma işlemini tamamlayalım: $\frac{2 \cdot 2 - 3}{2} = \frac{4 - 3}{2} = \frac{1}{2}$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: İşlemdeki tam sayılı kesirleri, hesaplama kolaylığı için bileşik kesre çevirelim. Kural: (Tam Kısım $\cdot$ Payda) + Pay. 2. Adım: $2 \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$. 3. Adım: $1 \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$. 4. Adım: $2 \frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{13}{6}$. 5. Adım: Parantez içindeki çıkarma işlemini yapalım: $\frac{7}{3} - \frac{5}{4}$. Paydaları 12'de eşitleyelim (ilkini 4 ile, ikincisini 3 ile genişletelim). 6. Adım: $\frac{28}{12} - \frac{15}{12} = \frac{13}{12}$. 7. Adım: Şimdi bölme işlemini yapalım: $\frac{13}{12} \div \frac{13}{6}$. 8. Adım: Birinci kesri aynen yazıp, ikinci kesri ters çevirip çarpalım: $\frac{13}{12} \cdot \frac{6}{13}$. 9. Adım: 13'ler birbirini götürür. $\frac{6}{12}$ kalır, bunu da sadeleştirirsek $\frac{1}{2}$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Sayıların pay ve paydaları arasındaki farka bakalım. Bütün kesirlerde fark 1'dir. ($11-10=1$, $101-100=1$, $1001-1000=1$). 2. Adım: Payı paydasından küçük olan bu tür kesirlere basit kesir denir. 3. Adım: Kural: Pay ve paydası arasındaki fark eşit olan basit kesirlerde, sayılardaki rakam değerleri büyüdükçe kesrin genel değeri de büyür (Yani 1 tama daha çok yaklaşır). 4. Adım: Değerleri kıyaslayalım: 10, 100 ve 1000 sayılarını karşılaştırdığımızda en küçük $a$, sonra $b$, en büyük ise $c$'dir. 5. Adım: Başka bir yöntemle, sayıları 1 tamdan çıkararak (kalanlara) bakabiliriz: $1 - a = \frac{1}{11}$, $1 - b = \frac{1}{101}$, $1 - c = \frac{1}{1001}$. Kalanı en küçük olan, 1 tama en yakındır yani en büyüktür. $\frac{1}{1001}$ en küçük parça olduğu için $c$ en büyüktür. 6. Adım: Sıralama: $a < b < c$ şeklindedir. Sonuç: A şıkkı.

1. Adım: Pay kısmındaki işlemi yapmak için paydaları 6'da eşitleyelim (ilkini 3 ile, ikincisini 2 ile). $\frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$. 2. Adım: Payda kısmındaki işlemi yapmak için paydaları 12'de eşitleyelim (ilkini 3 ile, ikincisini 2 ile). $\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$. 3. Adım: Çıkan sonuçları bölme işlemine yerleştirelim: $\frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{12}}$. 4. Adım: Birinci kesri aynen yazıp ikinciyi ters çevirip çarpalım: $\frac{1}{6} \cdot \frac{12}{5} = \frac{12}{30}$. 5. Adım: $\frac{12}{30}$ kesrini 6 ile sadeleştirelim: $\frac{2}{5}$. 6. Adım: Elde edilen sonucu ana denklemde yerine koyalım: $\frac{2}{5} \cdot x = 1$. 7. Adım: $x$'i bulmak için her iki tarafı $\frac{5}{2}$ ile çarpalım (veya $\frac{2}{5}$'i karşıya bölü olarak atalım): $x = \frac{5}{2}$ bulunur. Sonuç: E şıkkı.

1. Adım: İşlemlerde hata yapmamak için ondalık sayıları kesre (veya üslü sayıya) çevirerek çarpma/bölme işlemlerini yapalım. 2. Adım: Pay kısmındaki çarpma işlemi: $\frac{8}{100} \cdot \frac{2}{100} = \frac{16}{10000}$. Yani $0,0016$. 3. Adım: Bölme işlemi: $\frac{0,0016}{0,004}$. Virgülden kurtarmak için payı ve paydayı 10000 ile çarpalım. 4. Adım: Pay 16 olur. Payda ise $0,004 \cdot 10000 = 40$ olur. Bölüm $\frac{16}{40}$ şekline gelir. 5. Adım: $\frac{16}{40}$ kesrini 8 ile sadeleştirelim: $\frac{2}{5}$. 6. Adım: $\frac{2}{5}$ kesrini ondalık sayı olarak yazmak için pay ve paydayı 2 ile genişletelim: $\frac{4}{10} = 0,4$. 7. Adım: Bulduğumuz sonucu işlemin devamındaki sayıyla toplayalım: $0,4 + 0,6 = 1,0 = 1$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Bu tür sorularda en kesin yöntem, tüm kesirlerin ve seçeneklerin paydalarını ortak bir sayıda eşitlemektir. Seçeneklerin paydaları 15, 60, 10, 60 ve 20'dir. Bunların hepsinin en küçük ortak katı 60'tır. 2. Adım: Sınır değerleri paydası 60 olacak şekilde genişletelim: $\frac{1}{4} = \frac{15}{60}$ ve $\frac{1}{3} = \frac{20}{60}$. Yani aradığımız sayılar sayı doğrusunda $\frac{15}{60}$ ile $\frac{20}{60}$ arasında (16, 17, 18, 19 paylarına sahip) olmalıdır. 3. Adım: A şıkkı: $\frac{4}{15} = \frac{16}{60}$. (15 ile 20 arasındadır). 4. Adım: B şıkkı: $\frac{17}{60}$. (15 ile 20 arasındadır). 5. Adım: C şıkkı: $\frac{3}{10} = \frac{18}{60}$. (15 ile 20 arasındadır). 6. Adım: D şıkkı: $\frac{19}{60}$. (15 ile 20 arasındadır). 7. Adım: E şıkkı: $\frac{7}{20} = \frac{21}{60}$. Bu değer $\frac{20}{60}$'tan daha büyüktür, yani $\frac{1}{3}$'ün sağındadır ve aralığın dışındadır. Sonuç: E şıkkı.

1. Adım: İfadelerde hata payını düşürmek için verilen ondalık sayıları rasyonel (kesir) sayıya çevirelim. $x = \frac{3}{10}$ ve $y = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$ olur. 2. Adım: İlk olarak $\frac{x}{y}$ ifadesini hesaplayalım. $\frac{0,3}{0,05}$ bölme işlemini virgülden kurtarmak için payı ve paydayı 100 ile çarparız. Bu da $\frac{30}{5} = 6$ yapar. 3. Adım: İkinci olarak $\frac{y}{x}$ ifadesini hesaplayalım. Aynı yöntemle pay ve paydayı 100 ile çarparsak $\frac{5}{30}$ olur. Sadeleştirdiğimizde $\frac{1}{6}$ buluruz. 4. Adım: Bulduğumuz bu iki değeri toplayalım: $6 + \frac{1}{6}$. 5. Adım: Tam sayı ile kesri toplama işlemini yapalım: $\frac{6 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{36 + 1}{6} = \frac{37}{6}$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.