KPSS KPSS Ön Lisans Üslü-Köklü Testi #1

1. Adım: Pay kısmındaki ifadeleri en küçük üslü terim olan $2^x$ (veya $2^{x+1}$) parantezine alalım. İşlem kolaylığı için $2^x$ kullanalım. 2. Adım: $2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$ ve $2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$ olur. 3. Adım: Payı toplayalım: $4 \cdot 2^x + 2 \cdot 2^x = 6 \cdot 2^x$. 4. Adım: Paydadaki ifadeyi ayıralım: $2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{2^x}{2}$. 5. Adım: Bulduğumuz değerleri kesirde yerine koyalım: $\frac{6 \cdot 2^x}{\frac{2^x}{2}}$. 6. Adım: $2^x$'ler birbirini götürür. İfade $6 \div \frac{1}{2}$ şekline dönüşür. 7. Adım: Birinciyi aynen yaz, ikinciyi ters çevir çarp: $6 \cdot 2 = 12$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Köklü ifadelerle toplama ve çıkarma yapabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir. 2. Adım: İlk terimin paydasını rasyonel yapalım. $\frac{6}{\sqrt{3}}$ kesrini $\sqrt{3}$ ile genişletirsek: $\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ olur. 3. Adım: İkinci terimi $a\sqrt{b}$ şeklinde yazalım. $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. 4. Adım: Üçüncü terimi düzenleyelim. $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$. 5. Adım: Bulunan tüm değerleri ana denklemde yerine koyalım: $2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}$. 6. Adım: İşlemi tamamladığımızda $2\sqrt{3}$ ile $-2\sqrt{3}$ birbirini götürür, geriye sadece $3\sqrt{3}$ kalır. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Üslü denklemlerde eşitliği çözebilmek için tabanları eşitlememiz gerekir. Her iki taban da 3'ün kuvvetidir. 2. Adım: $9$ yerine $3^2$ ve $27$ yerine $3^3$ yazalım: $(3^2)^{x-1} = (3^3)^{x+1}$. 3. Adım: Üssün üssü kuralına göre üsler birbiriyle çarpılır: $3^{2(x-1)} = 3^{3(x+1)}$. 4. Adım: İfadeleri düzenleyelim: $3^{2x-2} = 3^{3x+3}$. 5. Adım: Tabanlar eşit ve 1'den farklı olduğuna göre üsler de birbirine eşit olmak zorundadır: $2x - 2 = 3x + 3$. 6. Adım: Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım: $-2 - 3 = 3x - 2x \Rightarrow -5 = x$. Sonuç: A şıkkı.

1. Adım: İç içe sonlu kök işlemlerinde çözüm her zaman en içteki kökten başlayarak dışa doğru yapılır. 2. Adım: En içteki kök $\sqrt{4}$'tür. $\sqrt{4} = 2$ olarak kök dışına çıkar. 3. Adım: İfade şu şekle dönüşür: $\sqrt{13 + \sqrt{7 + 2}}$. 4. Adım: İçerideki toplama işlemini yapalım: $7 + 2 = 9$. İfade $\sqrt{13 + \sqrt{9}}$ olur. 5. Adım: Kök içindeki $\sqrt{9}$ sayısını dışarı çıkaralım: $\sqrt{9} = 3$. 6. Adım: İfade şu şekle dönüşür: $\sqrt{13 + 3} = \sqrt{16}$. 7. Adım: En dıştaki kökü çözelim: $\sqrt{16} = 4$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Rasyonel üslü ifadelerde, tabandaki sayıları üssün paydasına uygun bir sayının kuvveti şeklinde yazmak işlemi kolaylaştırır. 2. Adım: İlk terim: $16 = 2^4$ yazarsak, $(2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$ olur. 3. Adım: İkinci terim: $27 = 3^3$ yazarsak, $(3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$ olur. 4. Adım: Üçüncü terim: $25 = 5^2$ yazarsak, $(5^2)^{\frac{1}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 5^1 = 5$ olur. 5. Adım: Bulunan bu değerleri ana işlemde yerlerine yazalım: $8 + 9 - 5$. 6. Adım: İşlemi tamamlayalım: $17 - 5 = 12$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Paydası köklü olan rasyonel ifadelerde, kesirler paydanın eşleniği ile çarpılarak genişletilir. 2. Adım: Birinci kesri $(\sqrt{5}+1)$ ile, ikinci kesri $(\sqrt{5}-1)$ ile genişletelim. 3. Adım: Birinci kesir: $\frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{4} = \sqrt{5}+1$. 4. Adım: İkinci kesir: $\frac{4(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{4(\sqrt{5}-1)}{5-1} = \frac{4(\sqrt{5}-1)}{4} = \sqrt{5}-1$. 5. Adım: Bulduğumuz bu iki ifadeyi birbirinden çıkaralım (Parantez kullanımına çok dikkat edilmelidir): $(\sqrt{5}+1) - (\sqrt{5}-1)$. 6. Adım: Eksiyi içeri dağıtalım: $\sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} + 1 = 2$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

1. Adım: Üslü sayıları sıralayabilmek için ya tabanları ya da üsleri eşitlememiz gerekir. Verilen sayılarda tabanları eşitlemek mümkün değildir, bu yüzden üsleri eşitlemeliyiz. 2. Adım: Üslerin en büyük ortak bölenini (EBOB) bulalım: EBOB(60, 40, 20) = 20. 3. Adım: Her sayıyı üssü 20 olacak şekilde (üssün üssü kuralını tersten uygulayarak) yeniden düzenleyelim. 4. Adım: $a = 2^{60} = 2^{3 \cdot 20} = (2^3)^{20} = 8^{20}$. 5. Adım: $b = 3^{40} = 3^{2 \cdot 20} = (3^2)^{20} = 9^{20}$. 6. Adım: $c = 5^{20} = (5^1)^{20} = 5^{20}$. 7. Adım: Üsler aynı olduğuna göre tabanı büyük olan sayı daha büyüktür: Tabanları sıraladığımızda $5 < 8 < 9$ olur. 8. Adım: Buna göre doğru sıralama $c < a < b$ şeklindedir. Sonuç: A şıkkı.

1. Adım: Köklü bir denklemde bilinmeyeni bulmak için öncelikle ifadeyi kökten kurtarmalıyız. Bunun için eşitliğin her iki tarafının karesini alırız. 2. Adım: $(\sqrt{2x - 3})^2 = 5^2$. 3. Adım: Kök ile kare birbirini götürür: $2x - 3 = 25$. 4. Adım: $-3$ sayısını eşitliğin diğer tarafına $+3$ olarak atalım: $2x = 25 + 3 \Rightarrow 2x = 28$. 5. Adım: Her iki tarafı $x$'in katsayısı olan 2'ye bölelim: $x = \frac{28}{2} = 14$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti ise negatiftir. Parantezin nerede olduğuna dikkat edilmelidir. 2. Adım: $(-3)^2$ işlemi $-3$ sayısının kendisiyle çarpımıdır: $(-3) \cdot (-3) = 9$. 3. Adım: $(-3)^3$ işlemi $-3$'ün küpüdür, üs tek olduğu için sonuç negatiftir: $(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$. 4. Adım: $(-1)^{101}$ işleminde, taban negatif ve üs (101) tek sayı olduğu için sonuç $-1$'dir. 5. Adım: Bulduğumuz değerleri işlemde yerine koyalım: $9 - (-27) + (-1)$. 6. Adım: Eksi ve eksi yan yana geldiğinde artıya dönüşür: $9 + 27 - 1$. 7. Adım: İşlemi tamamladığımızda $36 - 1 = 35$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Ondalık sayıların karekökünü alırken hata yapmamak için sayıları rasyonel kesir biçimine dönüştürelim. 2. Adım: İlk terim: $\sqrt{1,44} = \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{12}{10} = 1,2$. 3. Adım: İkinci terim: $\sqrt{0,81} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10} = 0,9$. 4. Adım: Üçüncü terim: $\sqrt{0,25} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{5}{10} = 0,5$. 5. Adım: Çıkan değerleri ana işlemde yerine yazalım: $1,2 + 0,9 - 0,5$. 6. Adım: İşlemi yapalım: $2,1 - 0,5 = 1,6$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Verilen eşitlikten $5^x$ ifadesini çekmeye çalışalım. Üslü sayılarda çarpma kuralına göre $5^{x+1}$ ifadesi $5^x \cdot 5^1$ şeklinde yazılabilir. 2. Adım: $5^x \cdot 5 = 20$ olur. Her iki tarafı 5'e bölersek: $5^x = 4$ elde edilir. 3. Adım: Bizden istenen ifade $5^{x-1}$'dir. Üslü sayılarda bölme kuralına göre bu ifadeyi $\frac{5^x}{5^1}$ şeklinde yazabiliriz. 4. Adım: Bulduğumuz $5^x = 4$ değerini yerine koyalım. 5. Adım: Sonuç $\frac{4}{5}$ olarak bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: İç içe geçmiş köklerde $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$ biçiminde bir ifade varsa özel kural uygulanır. Çarpımları $b$'yi, toplamları $a$'yı veren iki sayı aranır. 2. Adım: Sorumuzdaki $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ ifadesinde, çarpımları 10 ve toplamları 7 olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar 5 ve 2'dir ($5 \cdot 2 = 10$, $5 + 2 = 7$). 3. Adım: Kural gereği bu ifade, bulunan sayıların köklerinin toplamına eşittir (aradaki işaret artı olduğu için). Yani $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$ olur. 4. Adım: Bulunan bu değeri ana denklemde yerine koyalım: $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) - \sqrt{5}$. 5. Adım: $+\sqrt{5}$ ile $-\sqrt{5}$ birbirini götürür ve geriye $\sqrt{2}$ kalır. Sonuç: A şıkkı.

1. Adım: Pay kısmında birbirinin aynısı 3 tane sayı toplanmaktadır. Toplanan aynı terimleri çarpım olarak yazabiliriz: $10^x + 10^x + 10^x = 3 \cdot 10^x$. 2. Adım: Payda kısmında ise 2 tane aynı sayı toplanmaktadır: $5^x + 5^x = 2 \cdot 5^x$. 3. Adım: Kesri yeniden yazalım: $\frac{3 \cdot 10^x}{2 \cdot 5^x} = 24$. 4. Adım: Rakamları kesir olarak ayıralım: $\frac{3}{2} \cdot \frac{10^x}{5^x} = 24$. 5. Adım: Üsler aynı olduğu için tabanları bölebiliriz: $\frac{10^x}{5^x} = \left(\frac{10}{5}\right)^x = 2^x$. Denklem $\frac{3}{2} \cdot 2^x = 24$ haline gelir. 6. Adım: $2^x$'i yalnız bırakmak için eşitliğin diğer tarafını $\frac{3}{2}$'ye bölelim (veya $\frac{2}{3}$ ile çarpalım): $2^x = 24 \cdot \frac{2}{3} = 16$. 7. Adım: $2^x = 16$ ise $x = 4$ olarak bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Kök derecelerine dikkat ederek içerdeki sayıları dışarı çıkaralım. 2. Adım: İlk terim: $\sqrt[3]{-8}$. Kök derecesi tek (3) olduğu için içerisi negatif olabilir. Hangi sayının küpü $-8$'dir? $(-2)^3 = -8$ olduğundan, kök dışına $-2$ olarak çıkar. 3. Adım: İkinci terim: $\sqrt{16}$. Derece yazılmadığı için kareköktür. Hangi pozitif sayının karesi 16'dır? $4^2 = 16$ olduğundan, kök dışına $4$ olarak çıkar. 4. Adım: Üçüncü terim: $\sqrt[4]{81}$. Hangi pozitif sayının 4. kuvveti 81'dir? $3^4 = 81$ olduğundan, kök dışına $3$ olarak çıkar. 5. Adım: Bulduğumuz değerleri verilen denklemde işaretlerine dikkat ederek yerleştirelim: $(-2) + 4 - 3$. 6. Adım: İşlemi tamamlayalım: $2 - 3 = -1$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: İstenen ifadeyi daha kullanışlı hale getirmek için açalım: $4^{a+1} = 4^a \cdot 4^1$. 2. Adım: Bizim bildiğimiz değer 2'nin kuvvetiyle ilgili olduğu için 4 tabanını 2'ye benzetmeliyiz. $4 = 2^2$'dir. 3. Adım: $4^a$ ifadesi yerine $(2^2)^a$ yazabiliriz. Üslerin yer değiştirme kuralından dolayı bu aynı zamanda $(2^a)^2$'ye eşittir. 4. Adım: O halde denklem şu hale gelir: $(2^a)^2 \cdot 4$. 5. Adım: Soruda $2^a = 3$ olarak verilmiş. Bu değeri yerine yazalım: $3^2 \cdot 4$. 6. Adım: İşlemi yapalım: $9 \cdot 4 = 36$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Arada sayı olmayan iç içe köklerde, kök dereceleri birbirleriyle çarpılarak ifade tek kök altında yazılabilir. 2. Adım: En dıştaki kök karekök olduğu için derecesi 2'dir, içerideki kökün derecesi ise 3'tür. 3. Adım: Yeni kök derecesi: $2 \cdot 3 = 6$ olur. Yani ifade $\sqrt[6]{x}$ haline gelir. 4. Adım: Denklem $\sqrt[6]{x} = 2$ olur. 5. Adım: Kökten kurtulmak için eşitliğin her iki tarafının 6. kuvvetini alalım. 6. Adım: $(\sqrt[6]{x})^6 = 2^6 \Rightarrow x = 2^6$. 7. Adım: $2^6 = 64$ olduğu için $x = 64$'tür. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Paydaki çarpım durumundaki iki ifadenin üsleri eşittir (ikisi de 4). Üslü sayılarda çarpma kuralına göre üsler aynıysa tabanlar çarpılır ve ortak üs yazılır. 2. Adım: Pay: $((0,2) \cdot (0,5))^4$. Virgüllü çarpma yaparsak $0,2 \cdot 0,5 = 0,10$ yani $0,1$'dir. Pay kısmı $(0,1)^4$ olur. 3. Adım: Payda zaten $(0,1)^3$ olarak verilmiştir. 4. Adım: İşlem $\frac{(0,1)^4}{(0,1)^3}$ haline gelir. 5. Adım: Üslü sayılarda bölme işlemi gereği tabanlar aynıysa payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: $(0,1)^{4-3} = (0,1)^1 = 0,1$. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: Bir karenin alanı bir kenarının karesine eşittir. Karenin bir kenarına $a$ diyelim. $a^2 = 108$. 2. Adım: Kenar uzunluğu $a$'yı bulmak için 108'in karekökünü almalıyız: $a = \sqrt{108}$. 3. Adım: 108 sayısını tam kare bir çarpan içerecek şekilde çarpanlarına ayıralım: $108 = 36 \cdot 3$. 4. Adım: $\sqrt{36 \cdot 3}$ ifadesinde 36 kök dışına 6 olarak çıkar: $a = 6\sqrt{3}$ cm. 5. Adım: Karenin çevre uzunluğu 4 kenarının toplamına eşittir: $\text{Çevre} = 4 \cdot a = 4 \cdot 6\sqrt{3}$. 6. Adım: Çevre uzunluğu $24\sqrt{3}$ cm olarak bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Bir sayının kaç basamaklı olduğunu bulmak için, sayıyı $x \cdot 10^y$ formatına dönüştürmeliyiz. Bunun için ifadedeki tabanları 2 ve 5'in asal kuvvetleri şeklinde yazalım. 2. Adım: $8 = 2^3$ ve $25 = 5^2$'dir. 3. Adım: İfadeyi yeniden yazalım: $A = (2^3)^4 \cdot (5^2)^5 = 2^{12} \cdot 5^{10}$. 4. Adım: 10 tabanını elde etmek için 2 ve 5'in üslerinin eşit olması gerekir. Küçük olan üsse (10) göre parçalayalım: $2^{12}$ sayısını $2^2 \cdot 2^{10}$ olarak ayıralım. 5. Adım: $A = 2^2 \cdot 2^{10} \cdot 5^{10} = 4 \cdot (2 \cdot 5)^{10} = 4 \cdot 10^{10}$. 6. Adım: $4 \cdot 10^{10}$ sayısı, 4 rakamının yanına 10 tane sıfır konulacağı anlamına gelir. 7. Adım: Toplam basamak sayısı = (4 sayısının basamak sayısı olan 1) + 10 = 11 basamaklıdır. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: $x$'in değerini doğrudan yerine koymak yerine, verilen ikinci dereceden ifadeyi tam kare biçimine dönüştürmek işlemi oldukça hızlandırır. 2. Adım: $x^2 + 2x$ ifadesi, $(x+1)^2$'nin açılımı olan $x^2 + 2x + 1$ ifadesine çok benzemektedir. 3. Adım: $x^2 + 2x - 5$ ifadesine 1 ekleyip 1 çıkaralım (veya -5'i parçalayalım): $x^2 + 2x + 1 - 6$. 4. Adım: İfade şu hale gelir: $(x+1)^2 - 6$. 5. Adım: Bize $x = \sqrt{3} - 1$ verilmişti. Buradan $-1$'i karşıya atarsak $x + 1 = \sqrt{3}$ elde ederiz. 6. Adım: Bulduğumuz bu değeri tam kare ifadede yerine koyalım: $(\sqrt{3})^2 - 6$. 7. Adım: Kare ile kök birbirini götürür: $3 - 6 = -3$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.