KPSS KPSS Ön Lisans Temel Kavramlar & Dört İşlem Testi #1

1. Adım: İşlem önceliği kuralına (parantez içi, çarpma/bölme, toplama/çıkarma) uyulmalıdır. Önce parantez içindeki bölme işlemi yapılır: $24 \div 3 = 8$. 2. Adım: Parantez içindeki çıkarma işlemi yapılır: $8 - 8 = 0$. 3. Adım: Ana işlemdeki çarpma işlemi yapılır: $3 \cdot 0 = 0$. 4. Adım: Kalan toplama ve çıkarma işlemleri sırasıyla soldan sağa doğru yapılır: $12 - 0 + 4 = 12 + 4 = 16$ bulunur. Sonuç: E şıkkı.

1. Adım: $4y$ ifadesinde $y$ pozitif tam sayı olduğu için $4y$ daima çift sayıdır. 2. Adım: $3x + \text{Çift} = \text{Tek}$ olmalıdır. Bir çift sayı ile ancak tek bir sayı toplanırsa sonuç tek olur. Bu yüzden $3x$ tek sayıdır. 3. Adım: $3x$ tek ise, $x$ kesinlikle tek sayıdır. Ancak $y$'nin tek mi çift mi olduğu hakkında kesin bir bilgi yoktur. 4. Adım: Seçenekleri incelersek, D seçeneğindeki $x^2 + 3$ ifadesine bakalım. $x$ tek olduğu için $x^2$ de tektir. İki tek sayının toplamı ($x^2 + 3$) her zaman çifttir. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Ardışık tek sayılar 2'şer artar. En küçük sayıya $n$ dersek, sayılar sırasıyla $n, n+2, n+4, n+6$ olur. 2. Adım: Sayıların toplamını bulalım: $n + (n+2) + (n+4) + (n+6) = 4n + 12$. 3. Adım: Toplamı 88'e eşitleyelim: $4n + 12 = 88 \Rightarrow 4n = 76 \Rightarrow n = 19$. 4. Adım: En küçük sayı $n = 19$'dur. En büyük sayı $n + 6 = 19 + 6 = 25$'tir. 5. Adım: En küçük ile en büyüğünün toplamı: $19 + 25 = 44$ olarak bulunur. (Not: Ardışık dizilerde baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı daima dizinin uç terimlerinin toplamına eşittir). Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Pay ve paydadaki ifadeleri hesaplanabilir en küçük faktöriyel ortak parantezine alalım. Pay için 7!, payda için 6! uygundur. 2. Adım: Pay kısmını 7! parantezine alalım: $8! = 8 \cdot 7!$ olduğundan $8 \cdot 7! - 1 \cdot 7! = 7!(8 - 1) = 7! \cdot 7$. 3. Adım: Payda kısmını 6! parantezine alalım: $7! = 7 \cdot 6!$ olduğundan $7 \cdot 6! + 1 \cdot 6! = 6!(7 + 1) = 6! \cdot 8$. 4. Adım: Kesri tekrar yazalım: $\frac{7! \cdot 7}{6! \cdot 8}$. 5. Adım: Paydaki 7!'i $7 \cdot 6!$ olarak açıp sadeleştirelim: $\frac{7 \cdot 6! \cdot 7}{6! \cdot 8}$. 6. Adım: $6!$'ler sadeleşir ve geriye $\frac{7 \cdot 7}{8} = \frac{49}{8}$ kalır. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Verilen bilgiyi matematiksel olarak yazalım: $AB = 5 \cdot (A + B)$. 2. Adım: $AB$ sayısını basamak değerlerine göre çözümleyelim: $10A + B = 5A + 5B$. 3. Adım: Benzer terimleri aynı tarafa toplayalım: $10A - 5A = 5B - B \Rightarrow 5A = 4B$. 4. Adım: $A$ ve $B$ birer rakam olduğuna göre, bu eşitliği sağlayan değerler $A = 4$ ve $B = 5$'tir. Sayımız $AB = 45$'tir. 5. Adım: Bizden $BA$ sayısı, yani 54 isteniyor. $BA$ sayısının rakamları toplamı $5 + 4 = 9$'dur. 6. Adım: $BA$ sayısının rakamları toplamına oranını bulalım: $\frac{54}{9} = 6$ katıdır. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Bir sayının çift kuvveti daima pozitiftir. Birinci eşitsizlikte $a^2 > 0$'dır. Çarpımın sıfırdan küçük (negatif) olabilmesi için $b$'nin negatif olması gerekir. Dolayısıyla $b < 0$ ($-$). 2. Adım: İkinci eşitsizlikte $b$ negatif olduğu için $b^3$ de negatiftir. Çarpımın sıfırdan büyük (pozitif) olabilmesi için $c$'nin de negatif olması gerekir. Dolayısıyla $c < 0$ ($-$). 3. Adım: Üçüncü eşitsizlikte $c$ negatif olduğu için tek kuvveti olan $c^5$ de negatiftir. Çarpımın sıfırdan küçük (negatif) olabilmesi için $a$'nın pozitif olması gerekir. Dolayısıyla $a > 0$ ($+$). 4. Adım: İşaretler sırasıyla $+$, $-$, $-$ olarak bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: Önce parantez içlerindeki $\star$ işlemlerini hesaplayalım. İlk olarak $(3 \star 4)$ ifadesi için tanımda $x=3$ ve $y=4$ yazarız: $3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. 2. Adım: İkinci parantezdeki $(1 \star -2)$ ifadesi için $x=1$ ve $y=-2$ yazarız: $1^2 - (-2) = 1 + 2 = 3$. 3. Adım: Bulunan sonuçları $\triangle$ işleminde yerlerine koyalım: $5 \triangle 3$. 4. Adım: $\triangle$ işleminin tanımına göre $x=5$ ve $y=3$ yazarız: $2 \cdot 5 + 3 = 10 + 3 = 13$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Doğal sayılar kümesi 0'dan başlar. Denklemi sağlayan değerleri bulmak için $y$'ye en küçük doğal sayıdan başlayarak değer verelim. 2. Adım: $y = 0$ için $3x + 0 = 60 \Rightarrow x = 20$. Birinci ikili: $(20, 0)$. 3. Adım: $x$'in katsayısı olan 3, $y$'nin artış miktarıdır; $y$'nin katsayısı olan 5 ise $x$'in azalış miktarıdır. 4. Adım: $y$'yi 3'er artırıp, $x$'i 5'er azaltarak diğer değerleri pratikçe bulabiliriz. $y = 3$ için $x = 15$ $(15, 3)$ $y = 6$ için $x = 10$ $(10, 6)$ $y = 9$ için $x = 5$ $(5, 9)$ $y = 12$ için $x = 0$ $(0, 12)$ 5. Adım: $x$ ve $y$'nin her ikisinin de doğal sayı olduğu şartını sağlayan toplam 5 farklı $(x,y)$ ikilisi vardır. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Eşitliğin sağ tarafındaki iki kare farkını çarpanlarına ayıralım: $p = (n - 1) \cdot (n + 1)$. 2. Adım: $p$ bir asal sayı olduğundan, sadece 1'e ve kendisine bölünebilir. Bu nedenle çarpanlardan küçük olanı mutlaka 1 olmak zorundadır. 3. Adım: Küçük çarpan $n - 1 = 1$ olmalıdır. Buradan $n = 2$ olarak bulunur. 4. Adım: $n = 2$ değerini denklemde yerine yazarak $p$'yi bulalım: $p = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. (3 asaldır, şartı sağlar). 5. Adım: Bizden istenen $p + n$ toplamıdır. $3 + 2 = 5$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: İki sayı aralarında asal ise ortak bölenleri (1 hariç) yoktur. Verilen eşitlikteki kesri en sade haline getirmeliyiz. 2. Adım: $\frac{35}{45}$ kesrinin pay ve paydasını en büyük ortak bölenleri olan 5 ile sadeleştirelim: $\frac{35 \div 5}{45 \div 5} = \frac{7}{9}$. 3. Adım: 7 ve 9 aralarında asal sayılar olduğuna göre karşılıklı olarak eşleştirme yapabiliriz. 4. Adım: $2a - 1 = 7 \Rightarrow 2a = 8 \Rightarrow a = 4$. 5. Adım: $b + 2 = 9 \Rightarrow b = 7$. 6. Adım: Bizden $a \cdot b$ çarpımı isteniyor. $4 \cdot 7 = 28$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Verilen $x$ ve $y$ değerlerini paydaki ifadede yerine koyalım. $x^2 = 4^2 = 16$. $xy = 4 \cdot (-2) = -8$. İşlemdeki eksi işareti ile beraber $-xy = -(-8) = +8$ olur. $y^2 = (-2)^2 = 4$. Payın toplamı: $16 + 8 + 4 = 28$. 2. Adım: Değerleri paydadaki ifadede yerine koyalım. $x + y = 4 + (-2) = 2$. 3. Adım: Payı paydaya bölelim: $\frac{28}{2} = 14$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Sorudaki ifadeyi denkleme dökelim: $ABC - CBA = 396$. 2. Adım: Sayıları basamak değerlerine göre çözümleyelim: $ABC = 100A + 10B + C$ $CBA = 100C + 10B + A$ 3. Adım: Çıkarma işlemini uygulayalım: $(100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99A - 99C$. 4. Adım: İfadeyi 99 ortak parantezine alalım: $99(A - C) = 396$. 5. Adım: Eşitliğin her iki tarafını 99'a bölelim: $A - C = 4$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Modüler aritmetik veya bölünebilme kuralları gereği, harfli ifadelerle işlem yaparken doğrudan kalanları sayının yerine kullanabiliriz. 2. Adım: İfadede $A$ yerine 4, $B$ yerine 5 yazalım. 3. Adım: $A \cdot B + A^2 = 4 \cdot 5 + 4^2$. 4. Adım: İşlemleri sırasıyla yapalım: $20 + 16 = 36$. 5. Adım: Çıkan 36 sonucunun 6 ile bölümünden kalanı bulalım: $36 \div 6 = 6$ ve kalan 0'dır. Sonuç: A şıkkı.

1. Adım: İfadenin alabileceği en büyük (yani sıfıra en yakın) değeri bulmak için değişkenlere olabilecek en büyük negatif tam sayıları ($-1, -2, -3$ vb.) vermeliyiz. 2. Adım: Toplamın katsayısı büyük olan değişkene en büyük değeri vermeliyiz ki sayı daha fazla küçülmesin (negatif yönde büyümesin). İfadedeki katsayılar sırasıyla 3, 2 ve 1'dir. 3. Adım: En büyük katsayı olan $b$'ye en büyük negatif sayı olan $-1$'i vermeliyiz. 4. Adım: Sonraki en büyük katsayı olan $a$'ya, sayılar birbirinden farklı dendiği için $-2$'yi vermeliyiz. 5. Adım: Katsayısı en küçük olan $c$'ye ise $-3$'ü vermeliyiz. 6. Adım: Değerleri denklemde yerine koyalım: $2(-2) + 3(-1) + (-3) = -4 - 3 - 3 = -10$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: İki denklemde de ortak olan $y$ çarpanı vardır. Toplamın ($x+y+z$) en küçük değerini alabilmesi için ortak olan $y$ değerini mümkün olduğunca büyük seçmeliyiz. 2. Adım: $y$'nin alabileceği en büyük değer, 18 ve 24 sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) olmalıdır. 18 ve 24'ün EBOB'u 6'dır. 3. Adım: $y = 6$ olarak seçtiğimizde; $x \cdot 6 = 18 \Rightarrow x = 3$ $6 \cdot z = 24 \Rightarrow z = 4$ olur. 4. Adım: $x + y + z$ toplamı: $3 + 6 + 4 = 13$ olarak bulunur. (Kontrol: Eğer y=3 seçilseydi, x=6 ve z=8 olur toplam 17 çıkardı. En küçük değer 13'tür). Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: İşlemi tek bir çarpım formatına getirmek için küçük faktöriyel parantezine alalım. $35! + 36 \cdot 35! = 35!(1 + 36) = 35! \cdot 37$. 2. Adım: Bir sayının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için, o sayının içindeki 10 çarpanı (yani 2 ve 5 çarpanları) sayısına bakılır. Faktöriyellerde her zaman bol miktarda 2 çarpanı olduğundan 5 çarpanlarını saymak yeterlidir. 3. Adım: 35 sayısını sürekli 5'e böler ve bölümleri toplarız: $35 \div 5 = 7$. $7 \div 5 = 1$. 4. Adım: Bölümlerin toplamı: $7 + 1 = 8$. 5. Adım: Yanındaki $37$ sayısı içerisinde hiç 5 çarpanı olmadığı için sıfır sayısına bir etkisi yoktur. Bu sayının sondan 8 basamağı sıfırdır. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Eşitsizlikten sayıların işaretlerini belirleyelim: $x$ ve $y$ negatif ($-$), $z$ pozitif ($+$) sayılardır. Ayrıca $x$ sıfıra daha uzak olduğu için mutlak değerce $y$'den daha büyüktür ($|x| > |y|$). 2. Adım: Seçenekleri analiz edelim. A) $x \cdot y + z$: $x$ ve $y$ çarpımı pozitiftir, $z$ de pozitiftir. Toplam her zaman pozitiftir. B) $\frac{y - z}{x}$: $y$ negatif, $z$ pozitiftir. Farkları ($y-z$) kesinlikle negatiftir. Payda $x$ de negatiftir. Eksinin eksiye bölümü pozitiftir. C) $\frac{x + y}{z}$: $x$ ve $y$ ikisi de negatif olduğundan toplamları ($x+y$) kesinlikle negatiftir. Payda $z$ ise pozitiftir. Negatif sayının pozitif sayıya bölümü kesinlikle negatiftir. D) $z - x - y$: İfadeyi $z - (x+y)$ olarak düşünelim. Negatif bir sayının çıkarılması toplamı pozitif yapar. Pozitiftir. E) $x^2 \cdot y^2 \cdot z$: Kareler her zaman pozitif olacağından sonuç pozitiftir. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: İşlem önceliği kuralına göre ilk olarak parantez içi hesaplanır: $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. 2. Adım: Bölme işlemi yapılır (Birinci sayı aynen kalır, ikinci sayı ters çevrilip çarpılır): $2 \div \frac{2}{3} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$. 3. Adım: Çarpma işlemi yapılır: $4 \cdot \frac{1}{2} = 2$. 4. Adım: Ana işlemde yerine yazıp kalan toplama ve çıkarma işlemleri soldan sağa doğru yapılır: $2 - 3 + 2$. 5. Adım: $2 - 3 = -1$ ve $-1 + 2 = 1$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: Doğal sayılar kümesi $0, 1, 2, \dots$ şeklindedir. Çarpımın en küçük değerini bulmak için sayıları birbirine en uzak seçmeliyiz. Doğal sayı dediği için 0 kullanılabilir. 2. Adım: $a = 0$ ve $b = 15$ seçersek çarpım $0 \cdot 15 = 0$ olur. (En küçük değer). 3. Adım: Çarpımın en büyük değerini bulmak için sayıları birbirine olabildiğince yakın (hatta eşit) seçmeliyiz. Toplam 15 olduğu için 7,5 ve 7,5 seçilirdi ancak sayılar doğal sayı olmak zorundadır. Bu yüzden en yakın tam sayılar 7 ve 8'dir. 4. Adım: $a = 7$ ve $b = 8$ seçersek çarpım $7 \cdot 8 = 56$ olur. (Birbirinden farklı koşuluna uyar). (En büyük değer). 5. Adım: Bu iki değerin toplamı: $0 + 56 = 56$ olarak bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Verilen bilgiyi denkleme dönüştürelim: $10A + B = 3 \cdot A \cdot B$. 2. Adım: $B$'yi diğer tarafa atıp $A$ parantezli terimleri ayıralım: $10A = 3AB - B = B(3A - 1)$. 3. Adım: Buradan $B$'yi çekersek: $B = \frac{10A}{3A - 1}$ eşitliğini elde ederiz. 4. Adım: $A$'ya (1'den 9'a kadar) rakam değerleri vererek $B$'nin rakam olmasını sağlayalım. $A = 1$ için $B = \frac{10}{2} = 5$ (Sayı 15, rakamları çarpımı 5. Üç katı 15 sağlar). $A = 2$ için $B = \frac{20}{5} = 4$ (Sayı 24, rakamları çarpımı 8. Üç katı 24 sağlar). $A = 3, 4, \dots$ için B tam sayı veya rakam çıkmaz. 5. Adım: Şarta uyan $AB$ sayıları 15 ve 24'tür. Her iki sayının da rakamları toplamı birbirine eşittir: $1 + 5 = 6$ ve $2 + 4 = 6$. Sonuç: B şıkkı.